Bài tập về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

1.

a) Xét $\Delta $aBM và $\Delta $CEM có:

AM = MC

MB = ME

$\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}$

$\Rightarrow $ $\Delta $ABM = $\Delta $CEM (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{ECM}$. Mà $\widehat{BAM}=90^{\circ}\Rightarrow \widehat{ECM}=90^{\circ}\Rightarrow CE\perp AC$

$\Delta $ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên BC là cạnh huyền, do đó BC > AB

Mà AB = CE (do $\Delta $ABM = $\Delta $CEM)

$\Rightarrow $ BC > CE

b) $\Delta $ABM = $\Delta $CEM $\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{CEM}$

Xét $\Delta $BCE có BC > CE nên $\widehat{CEM}>\widehat{MBC}$

$\Rightarrow \widehat{AMB}>\widehat{MBC}$

2. 

Xét $\Delta $EFC có: $\widehat{EFC}=\widehat{A}+\widehat{E_{1}}$ (góc ngoài tam giác)

Mà $\widehat{A}\geq 90^{\circ}$, suy ra $\widehat{EFC}$ là góc tù.

Trong $\Delta $EFC có $\widehat{EFC}$ là góc tù nên cạnh CE là lớn nhất. Do đó CE > EF (1)

Xét $\Delta $AEC có: $\widehat{BEC}=\widehat{A_{1}}+\widehat{C_{1}}$ (góc ngoài)

Mà $\widehat{A}\geq 90^{\circ}$ nên $\widehat{BEC}>90^{\circ}$

Trong $\Delta $BEC có $\widehat{BEC}$ tù nên cạnh BC là lớn nhất.

Do đó BC > CE (2)

Từ (1) và (2) ta có: BC > EF

3. 

a) $\Delta $ABC cân tại A $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$; AB = AC và BE = FC.

Vậy $\Delta $ABE = $\Delta $ACF (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BEA}=\widehat{CFA}$

Xét $\Delta $ABE có: $\widehat{AEC}=\widehat{B}+\widehat{BAE}$ 

Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên $\widehat{AEC}=\widehat{C}+\widehat{BAE}$ , hay $\widehat{AEC} > \widehat{C}$

Trong $\Delta $AEC có $\widehat{AEC} > \widehat{C}$ nên AC > AE (1)

Trên tia đối của tia FA lấy điểm N sao cho FN = FA.

Ta chứng minh đuợc $\Delta $EAF = $\Delta $CNF (c.g.c)

Suy ra $\widehat{EAF}=\widehat{CNF}$ (2) và AE = CN (3)

Từ (1) và (3) suy ra AC > CN

Trong $\Delta $ACN có: AC > CN nên $\widehat{CNF}>\widehat{FAC}$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}$

Vậy $\widehat{FAE}>\widehat{FAC}=\widehat{BAE}$

b) Nếu chia thành bốn đoạn bằng nhau BE = IE = FE = FC thì sẽ có bốn góc trong đó hai góc đôi một bằng nhau: $\widehat{BAE}=\widehat{CAF}$ ; $\widehat{EAI}=\widehat{IAF}$. Học sinh chứng minh tương tự

4. 

a) Trong $\Delta $ABM có AM > BM $\Rightarrow \widehat{B}>\widehat{A_{1}}$ (đối diện cạnh lớn hơn)

Vì BM = MC nên ta có AM > MC

Trong $\Delta $AMC có AM > MC nên $\widehat{C}>\widehat{A_{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$

Hay $\widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A}$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}>90^{\circ}$ và $\widehat{A}<90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{A}$ nhọn.

b) Tương tự như trên, nếu AM = BM = CM

Trong $\Delta $ABM có AM = BM $\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{A_{1}}$

Trong $\Delta $ACM có AM = MC $\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A_{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$

Hay $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}=90^{\circ}$

Vậy $\widehat{A}$ là góc vuông

c) Tương tự câu a ta có:

Trong $\Delta $ABM có AM < BM $\Rightarrow \widehat{B}<\widehat{A_{1}}$ (đối diện cạnh lớn hơn)

Vì BM = MC nên ta có AM < MC

Trong $\Delta $AMC có AM < MC nên $\widehat{C}< \widehat{A_{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}>\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}$

Hay $\widehat{B}+\widehat{C}<\widehat{A}$

Mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên $\widehat{B}+\widehat{C}<90^{\circ}$ và $\widehat{A}>90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{A}$ là góc tù.