Bài tập về quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

1. 

a) Nếu AB là cạnh bên của tam giác thì ba cạnh là: 7cm, 7cm, 4cm thỏa mãn bất đẳng thức của tam giác. Vậy chu vi của tam giác là 18cm

   Nếu AC là cạnh bên của tam giác thì ba cạnh là : 7cm, 4cm, 4cm cũng thỏa mãn bất đẳng thức của tam giác. Vậy chu vi của tam giác là 15cm.

b) Nếu AB là cạnh bên của tam giác thì ba cạnh là 9cm, 9cm, 4cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Vậy chu vi là 22cm.

   Nếu AC là cạnh bên của tam giác thì ba cạnh là: 4cm, 4cm, 9cm không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác vì 4 + 4 < 9

2. 

Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

Vì AB > AC $\Rightarrow $ AB > AE vậy E nằm giữa A và B, nên AB = AE + EB, hay AB - AE = BE (1)

Xét $\Delta $AEM và $\Delta $ACM có:

chung cạnh AM

$\widehat{EAM}= \widehat{CAM}$

AE = AC

$\Rightarrow $ $\Delta $AEM = $\Delta $ACM

$\Rightarrow $ EM = MC (2)

Xét $\Delta $BEM có: BE > BM - ME (3) (một cạnh lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại)

Thay (1) và (2) vào (3) ta có: AB - AE > BM - MC

Mà AE = AC nên AB - AC > BM - MC

3. 

Xét $\Delta $AHE và $\Delta $A'HE vuông tại H, có:

HE chung

AH = HA'

$\Rightarrow $ $\Delta $AHE = $\Delta $A'HE (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow $ AE = A'E

$\Rightarrow $ AE + EB = A'E + EB = A'B (1)

Tương tự ta có $\Delta $AFH = $\Delta $A'FH

$\Rightarrow $ FA = FA'

Vậy AF + FB = A'F + BF (2)

Trong $\Delta $BA'F, có: A'B < BI < FA' (3)(bất đẳng thức trong tam giác)

Từ (1), (2), (3) ta có: AF + BF > A'B = AE + BE 

Hay AF + BF > AE + BE

4. 

Từ B hạ BH $\perp $ d và trên tia đối của tia HB lấy điểm B' sao cho HB' = HB. Ta phải chứng minh B', A, C thẳng hẳng.

Thật vậy, ta dễ dàng chứng minh được: $\Delta $ABH = $\Delta $AB'H (hai cạnh góc vuông bằng nhau)

$\Rightarrow \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Trong $\Delta $ABC có: $\widehat{BAC}+\widehat{B_{2}}+\widehat{C_{2}}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Mà $\widehat{B_{2}}=\widehat{C_{2}} \Rightarrow \widehat{BAC}+2\widehat{B_{2}}=180^{\circ}$

Lại có: $\widehat{B_{2}}=\widehat{A_{1}}$ (hai góc so le trong)

        $\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}=180^{\circ}$

Vậy B', A, C thẳng hàng.

Mặt khác $\Delta $ABH = $\Delta $AB'H nên AB = AB' (1)

Vậy AB + AC = AB' + AC

Chứng minh tương tự ta có A'B + A'C = A'B' + A'C (2)

Trong $\Delta $A'B'C' có: A'B + A'C > A'C (bất đẳng thức trong tam giác)

Mà B'C = B'A + AC thay vào (2) ta được A'B + A'C > B'A + AC

Thêm BC vào hai vế ta được A'B + A'C + BC > AB + BC + AC

Hay A'B + A'C + BC > AB + BC + AC

Vậy chu vi $\Delta $ABC nhỏ hơn chu vi tam giác $\Delta $A'BC.

5. 

a) Tương tự bài 4, ta dễ dàng chứng minh được $\Delta $AHF = $\Delta $AHM (hai canh góc vuông)

$\Rightarrow $ AE = AM

$\Delta $BKM = $\Delta $BKF (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow $ BF = BM

Vậy AE + BF = AM + BM. Thêm AB vào hai vế ta có: AE + AB + BF = AB + AM + BM = $C_{\Delta ABM}$

b) Chu vi $\Delta $ABM nhỏ nhất khi tổng AE + AB + BF nhỏ nhất mà tổng ba đoạn đó nhỏ nhất khi chúng thẳng hàng, hay bằng EF.

Khi đó CF cắt Ox tại A', Oy tại B' thì $C_{\Delta ABM}$ = EF là nhỏ nhất.