Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm

3. Xét m = 0 hì phương trình trở thành 2x - 3 = 0. Đó là phương trình bậc nhất chỉ có một nghiệm là x = $\frac{3}{2}$

Xét m $\neq 0$. Khi đó phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có các hệ số: a = m; b = -2(m - 1) và c = m - 3.

$\Delta =[-2(m-1)]^{2}-4.m.(m-3)=4(m^{2}-2m+1)-(4m^{2}-12m)$

= $4m^{2}-8m+4-4m^{2}+12m=4m+4$

a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> $\Delta $ > 0

=> 4m + 4 > 0 <=> m > -1

Vậy với m > - 1 và m $\neq 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b, Phương trình có nghiệm kép <=> $\Delta $ = 0

=> 4m + 4 = 0 <=> m= -1

Vậy với m = -1 thì phương trình có nghiệm kép.

c, Phương trình vô nghiệm <=>  $\Delta $ < 0

<=> 4m + 4 < 0 <=>m < -1

Vậy với m < -1 phương trình vô nghiệm

d, Với m = 0 và m = -1 thì phương trình có đúng một nghiệm.

4. $\Delta' =(m-3)^{2}-3.(2m+1)=m^{2}-6m+9-6m-3=m^{2}-12m+6$

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi $\Delta' =m^{2}-12m+6=0$

<=> m₁ = 6 + $\sqrt{30}$ và m₂ = 6 - $\sqrt{30}$

Khi m = 6 + $\sqrt{30}$, phương trình đã cho có nghiệm kép 

x₁ = x₂ = -$\frac{m-3}{3}=-\frac{6+\sqrt{30}-3}{3}=-\frac{3+\sqrt{30}}{3}$

Khi m = 6 - $\sqrt{30}$, phương trình đã cho có nghiệm kép 

x₁ = x₂ = -$\frac{m-3}{3}=-\frac{6-\sqrt{30}-3}{3}=-\frac{3-\sqrt{30}}{3}$