Sử dụng định nghĩa chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

1.

Vì $\widehat{CID}=90^{0}$ nên DI $\perp $ CE hay DI là đường cao của tam giác CDE (E là giao điểm của CI với tia DA) (1)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho BC // EA ta có:

$\frac{CI}{IE}=\frac{BI}{IA}$ = 1 hay CI = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác CDE cân tại D

=> $\widehat{E}=\widehat{C_{2}}$ (theo tính chất tam giác cân) (3).

Lại có $\widehat{C_{1}}=\widehat{E}$ (so le trong) (4)

Từ (3) và (4) suy ra CI là tia phân giác của góc BCD.

Kẻ IH $\perp $ CD thì IH là khoảng cách từ tâm I của đường tròn đường kính AB đến CD.

IH = IB (tính chất tia phân giác) 

Vậy DC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

2.

Kẻ OI $\perp $ AB (I $\in $ CD) thì CA // IO // DB (1)

Mà AO = OB (2) (vì bán kính)

Từ (1) và (2) suy ra CA, IO, DB là ba đường thẳng song song cách đều nên CI = ID. Lúc đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.

Do OI là đường trung bình của hình thnag ACDB nên d = OI = $\frac{AC+BD}{2}$

Lại có CA = CM, DB = DM (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên:

$\frac{AC+BD}{2}$ = $\frac{CM+DM}{2}$ = $\frac{DC}{2}$ = R là bán kính của đường tròn (I). 

Do d = R => AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.