Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 4 :

Đề bài :

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao BB' , CC' cắt nhau tại điểm H .Gọi M là trung điểm của BC .Tia MH cắt (O) tại điểm P . 

a.  Chứng minh rằng hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng .

b.  Cho đường phân giác của các góc $\widehat{BPC'}, \widehat{CPB'}$ lần lượt cắt AB , AC tại các điểm E , F .Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , K là giao điểm của HM và AO' .

• Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp .
• Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của ( O' ) cắt nhau tại một điểm nằm trên ( O ) .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có  : AO cắt (O ) tại D  =>  AD là đường kính của (O) .

=>    $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90^{\circ}$ 

=>    BD // CH ;  CD // BH .

=>  Tứ giác  HDCB là hình bình hành  .

=>  DH cắt BC tại trung điểm cạnh BC và cũng là trung điểm cạnh DH .

=>   D , M , H , P thẳng hàng .

=>    $\widehat{APD}=\widehat{APH}=90^{\circ}$ 

=>  P thuộc đường tròn đường kính AH .

Mà  :  $\widehat{AB'H}=\widehat{AC'H}=90^{\circ}$ 

=>  B' , C' thuộc đường tròn đường kính AH .

=>  A , P , B' , C' ,H  cùng thuộc đường tròn đường kính AH .

=>  $\left\{\begin{matrix}\widehat{AB'P}=\widehat{AC'P}&  & \\\widehat{PC'B}+\widehat{PC'A}=90^{\circ}&  & \\ \widehat{PB'C}+\widehat{PB'A}=180^{\circ} &  & \end{matrix}\right.$

=>   $\widehat{PB'C}=\widehat{PC'B}$         (1)

Xét ( O) , ta có :  $\widehat{PCB'}=\widehat{PBC'}$   ( do cùng chắn cung AP )   (2)

Từ (1), (2)   =>    $\triangle BPC' \sim  \triangle CPB'$ ( g - g )   ( đpcm ) .

b.  Kẻ PE , PF lần lượt là phân giác của BPC'  và CPB' .

=>  $\left\{\begin{matrix}EPC'=\frac{1}{2}BPC' & \\ FPB'=\frac{1}{2}CPB' & \end{matrix}\right.$

Do   $\triangle BPC' \sim  \triangle CPB'$   =>  $\widehat{BPC'}=\widehat{CPB'}$

=>  $\widehat{EPC'}=\widehat{EPB'}$

Xét  $\triangle PEC'$  và  $\triangle PFB'$ có :

$\left\{\begin{matrix}\widehat{EPC'}=\widehat{EPB'} & \\ \widehat{PC'E}=\widehat{PB'F}  (\triangle BPC' \sim  \triangle CPB') & \end{matrix}\right.$

=>  $\triangle PEC' \sim  \triangle PFB'$   ( g - g ) .

=>  $ \widehat{PEC'} =\widehat{PFB'} $ 

=>  Tứ giác APEF nội tiếp ( đpcm ) .

Vì O' là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AEF$

=>  O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp  tứ giác APEF .

Gọi K' là giao của AO' và ( O' ) =>  AK' là đường kính .

=>   $\widehat{APK}=90^{\circ}$       (*)

Mà  $\widehat{APD}=90^{\circ}$  (**)

Từ (*), (**)  =>  $K\in PD'$ .

=>  K là giao của PD và AO' .

=>  K là giao của MH và AO' .

=>  $K\equiv K'=>  K\in (O)$ .

=>  Tứ giác PEKF nội tiếp .  ( đpcm )