Lời giải Bài 1 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 1 :

Đề bài :

a.  Giải  phương trình sau  :  $x^{4}-2x^{3}+x-\sqrt{2(x^{2}-x)}=0$

b.  Giải hệ phương trình sau :  $\left\{\begin{matrix}x^{2}+2y-4x=0 & \\ 4x^{2}-4xy^{2}+y^{4}-2y+4=0 & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.       $x^{4}-2x^{3}+x-\sqrt{2(x^{2}-x)}=0$

Đk  :  $0\leq x\leq 1$

<=>    $(x^{2}-x)^{2}-(x^{2}-x)-\sqrt{2(x^{2}-x)}   (*)$

Đặt  $\sqrt{(x^{2}-x)}=t  (t\geq 0)$

(*) <=>  $t^{4}-t^{2}-\sqrt{2}t=0$

<=>   $t(t^{3}-t-\sqrt{2})=0$

<=>   $t(t-\sqrt{2})(t^{2}+\sqrt{2}t+1)=0$

<=>  Hoặc t = 0  hoặc  $t-\sqrt{2}=0<=> t=\sqrt{2}$

+  Với t = 0 <=> $\sqrt{(x^{2}-x)}=0 <=> x^{2}-x=0$

<=>  Hoặc  x= 0 hoặc x = 1   ( thỏa mãn ) .

+  Với  $t=\sqrt{2}<=> $\sqrt{(x^{2}-x)}= \sqrt{2}<=> x^{2}-x=2<=>x^{2}-x-2=0$

<=>  Hoặc  x = 2    hoặc  x = -1  ( thỏa mãn )  .

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $x\in \left \{ 0;1;2;-1 \right \}$ .

b.  $\left\{\begin{matrix}x^{2}+2y-4x=0 & \\ 4x^{2}-4xy^{2}+y^{4}-2y+4=0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}(x-2)^{2}=-2y+4 & \\ (2x-y^{2})^{2}-2y+4=0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}(x-2)^{2}=-2y+4 & \\ (2x-y^{2})^{2}+(x-2)^{2}=0 & \end{matrix}\right.   (*)$

Nhận xét : $(2x-y^{2})^{2}\geq 0;(x-2)^{2}\geq 0=>(2x-y^{2})^{2}+(x-2)^{2}\geq 0  \forall x;y$

(*) <=> $\left\{\begin{matrix}(x-2)^{2}=0 & \\ (2x-y^{2})^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ 2x-y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

<=>  $\left\{\begin{matrix}x=2 & \\ y=\pm 2 & \end{matrix}\right.$

Thay vào (*) ta thấy cặp ( x ; y ) = ( 2 ; - 2 ) không thỏa mãn => ( loại ) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2 ; 2 ) .