Bài tập về áp dụng cung chứa góc giải các bài toán về quỹ tích và dựng hình

1.

Phần thuận:

Giả sử E là giao điểm của đường thẳng CD với nửa đường tròn (O).

Từ giả thiết $\Delta $ABC đều ta thấy $\widehat{ACE}=120^{\circ}$ nên số đo cung BE bằng $60^{\circ}$.

Do đó điểm E là cố định. Lại vì M là trung điểm của CD mà $\Delta $ACD đều nên AM $\perp $ CD hay $\widehat{AME}=90^{\circ}$. Từ đó M nằm trên đường tròn bán kính AE.

Lưu ý rằng khi C trùng A thì M trùng A, khi C trùng B thì M trùng với E. 

Vậy M chỉ nằm trên nửa đường tròn đường kính AE.

Phần đảo:

Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn đường kính AE. Đường thẳng EM cắt nửa đường tròn (O) tại C. Vẽ $\Delta $ACD đều, trong đó D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B. Khi đó số đo cung BE bằng 60$^{\circ}$ dẫn đến $\widehat{ACE}=120^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{ACD}+\widehat{ACE}=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}$ nên bốn điểm D, M, C, E thẳng hàng. Rõ ràng MD = MC (vì trong $\Delta $ACD đều đường cao AH cũng là đường trung tuyến)

Kết luận: Quỹ tích trung điểm M của CD là nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa mặt phẳng bờ AE không chứa B.

2.

a) Hướng dẫn:

Điểm A thuộc cung chứa góc $50^{\circ}$ vẽ trên đoạn thẳng BC và A thuộc đường tròn tâm M bán kính R = 3cm (M là trung điểm BC)

b) Dựng đường tròn (O; 2,5cm)

Dựng dây cung BC của đường tròn (O) sao cho $\widehat{BOC}=100^{\circ}$

Dựng dây cung chứa góc $115^{\circ}$ vẽ trên đoạn BC.

Dựng đường thẳng d song song với BC cách BC 1cm, cắt cung chứa góc $115^{\circ}$ tại I.

Dựng đường tròn (I; 1cm)

Dựng dây cung BA của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (I)

Nối AC, tam giác ABC là tam giác cần dựng.

3.

a) Ta thấy bốn điểm A, D, O, E cùng nằm trên đường tròn đường kính OA nên $\widehat{EAO}=\widehat{EDO}=\frac{\widehat{A}}{2}$

Trong đó $\Delta $BDH có:

$\widehat{BHD}=180^{\circ}-90^{\circ}-\widehat{EDO}-\frac{\widehat{B}}{2}$

= $90^{\circ}-\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\frac{\widehat{C}}{2}$

Mặt khác $\widehat{ACD}=\frac{\widehat{C}}{2}$, từ đó $\widehat{OHE}=\widehat{ECO}$ dẫn đến bốn điểm O, E, H, C cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

b) Theo kết quả câu a, ta có $\widehat{OHE}=\widehat{ECO}=90^{\circ}$ hay BH $\perp $ CH.

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó $\Delta $BHM cân tại M, suy ra $\widehat{HBM}=\widehat{MHB}$, mặt khác $\widehat{HBM}=\widehat{HBA}$ nên $\widehat{HBA}=\widehat{MBH}$.

Từ đó HM // AB

Tóm lại: đường trung bình của $\Delta $ABC (song song với cạnh AB), đường phân giác trong của $\widehat{ABC}$ và DE đồng quy tại điểm H (đpcm)