Giáo án dạy thêm toán 8 mới năm 2023 cánh diều

Ngày soạn: .../.../...

Ngày dạy: .../.../...

BÀI 4: VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức, kĩ năng: 

- Ôn lại và củng cố kiến thức về hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử:

Nhận biết và thể hiện được thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

Vận dụng được hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử.

Luyện tập, rèn luyện phân tích tích đa thức thành nhân tử sử dụng kết hợp linh hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá

Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm

Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng: 

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối tượng đã cho và các phương pháp đã học, từ đó có thể áp dụng kiến thức đã học để phân tích đa thức thành nhân tử.

Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học.

Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Về phẩm chất:

Có ý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc lập, tự tin và tự chủ.

Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.

- Học sinh: Vở, nháp, bút.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. KHỞI ĐỘNG

a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.

b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.

c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.

d) Tổ chức hoạt động:

- GV đặt câu hỏi: 

+ Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Hãy cho ví dụ?

+ Phân tích biểu thức sau dưới dạng tích: 

- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử”.

B. HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC

a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng giải toán một cách dễ dàng.

b. Nội dung hoạt động: HS suy nghĩ, trả lời câu hỏi.

c. Sản phẩm học tập:  Câu trả lời của HS

d. Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HSDỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

2. Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

- Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức.

Ví dụ: 25x^2-1=(5x-1)(5x+1)

- Vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung.

Ví dụ: 

3x^2+ 6xy + 3y^2– 3z^2

= 3(x^2+ 2xy + y^2– z^2 )

= 3[(x + y)^2– z^2 ]

=3(x + y + z)(x + y – z)

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

a. Mục tiêu: HS biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử” thông qua các phiếu bài tập.

b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập

c. Sản phẩm học tập: Kết quả thực hiện của HS.

d. Tổ chức thực hiện:

Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp giải: 

Nhóm các hạng tử có chung nhân tử: A.B+A.C=A(B+C). 

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x^3+3xd) 2x+4y-6z

b) 5(x+2y)-15x(x+2y)                   e) -3x^2 y-9xy^2-12xy

c) 3(x-y)-5x(y-x)                      h) ) 3a^2 y-6a^2 y+12a

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 4(2-x)^2+xy-2yb) 3a^2 x-3a^2 y+abx-aby

c) x(x-y)^3-y(y-x)^2-y^2 (x-y)d) 2ax^3+6ax^2+6ax+18a

e) x^2 y-xy^2-3x+3yf) 3ax^2+3bx^2++bx+5a+5b

Bài 3. Tính hợp lí

a) 75.20,9+5^2.20,9 b) 86.15+150.1,4 

c) 93.32+14.16 d) 98,6.199-990.9,86 

e) -8.40+2.108+24; f) 993.98+21.331-50.99,3. 

Bài 4. Tìm x biết:

a) 8x(x-2017)-2x+4034=0; b) x/2+x^2/8=0; 

c) 4-x=2(x-4)^2; d) (x^2+1)(x-2)+2x=4.

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.

- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) x^3+3x=x(x^2+3)

b) 5(x+2y)-15x(x+2y)=5(x+2y)(1-3x)

c) 3(x-y)-5x(y-x)=(x-y)(3+5x)

d) 2x+4y-6z

= 2.(x + 2y – 3z)

e) -3x^2 y-9xy^2-12xy

=  -3xy (x + 3y+4)

h) 3a^2 y-6a^2 y+12a

= 3a (ay – 2ay + 4)

= 3a.(4-ay)

Bài 2. 

a) 4(2-x)^2+xy-2y=4(x-2)^2+y(x-2)=(x-2)[4(x-2)+y]

b) 3a^2 x-3a^2 y+abx-aby=3a^2 (x-y)+ab(x-y)

=(x-y)(3a^2+a)

c) x(x-y)^3-y(y-x)^2-y^2 (x-y)=(x-y)[x(x-y)^2-y(x-y)-y^2 ]

=(x-y)[x(x-y)^2-xy]

d) 2ax^3+6ax^2+6ax+18a=2ax^2 (x+3)+6a(x+3)

=2a(x+3)(x^2+3)

e) x^2 y-xy^2-3x+3y=xy(x-y)-3(x-y)=(x-y)(xy-3)

Bài 3. 

a) 75.20,9+5^2.20,9=20,9.(75+25)=20,9.100=2090.

b) 86.15+150.1,4=86.15+15.14=15.(86+14)=15.100=1500.

c) 93.32+14.16=93.32+7.32=32.(93+7)=32.100=3200

d) 98,6.199-990.9,86=98,6.199-99.98,6=98,6.(199-99)=98,6.100=9860

e) -8.40+2.108+24=-8.40+8.27+8.3=8.(-40+27+3)=8.(-10)=-80

f) 993.98+21.331-50.99,3=993.98+7.993-5.993=993.(98+7-5)

=993.100=99300

Bài 4. 

a) 8x(x-2017)-2x+4034=0⇔2(x-2017)(4x-1)=0⇔[█(&x=2017@&x=1/4)┤.

b) x/2+x^2/8=0⇔x/2 (1+x/4)=0⇔[█(&x=0@&x=-4)┤.

c) 4-x=2(x-4)^2⇔(x-4)[2(x-4)+1]=0⇔(x-4)(2x-7)=0⇔[█(&x=4@&x=7/2)┤.

d) (x^2+1)(x-2)+2x=4⇔(x-2)(x^2+1+2)=0⇔(x-2)(x^2+3)=0.

Vì x^2+3>0với mọi xnên VT=0⇔x-2=0⇔x=2.

Nhiệm vụ 2:  GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử

Phương pháp giải: Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm.

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a) 2x^2-2xy-3x+3y b) -x^2-y^2+2xy+16 

c) y^2-x^2+2yz+z^2 d) 3x^2-6xy+3y^2-12z^2 

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a) x^4–2x^3+2x-1 b) a^6–a^4+2a^3+2a^2 

c) x^4+x^3+2x^2+x+1 d) x^4+2x^3+2x^2+2x+1 

e) x^2 y+xy^2+x^2 z+y^2 z+2xyz                                

f) x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử rồi tính giá trị của biểu thức:

a) A=xy–4y–5x+20 , với x=14 ; y=5,5 

b) B=x^2+xy–5x–5y ; với x=5 1/5; y=4 4/5

c) C=xyz–(xy+yz+zx)+x+y+z–1 , với x=9,y=10,z=11. 

d) D=x^3–x^2 y–xy^2+y^3  với  x=5,75;y=4,25.

Bài 4. Tìm x biết

a) x^2 (x-5)+5-x=0; b) 3x^4-9x^3=-9x^2+27x; 

c) x^2 (x+8)+x^2=-8x;

d) (x+3)(x^2-3x+5)=x^2+3x. 

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.

- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) 2x^2-2xy-3x+3y=2x(x-y)-3(x-y)=(x-y)(2x-3)

b) -x^2-y^2+2xy+16=16-(x-y)^2=(4-x+y)(4+x-y) 

c) y^2-x^2+2yz+z^2=(y+z)^2-x^2=(y+z-x)(y+z+x) 

d) 3x^2-6xy+3y^2-12z^2=3[(x-y)^2-4z^2 ]=3(x-y+2z)(x-y-2z)

Bài 2. 

a) x^4–2x^3+2x-1=(x^4–1)–(2x^3–2x) 

=(x^2–1)(x^2+1)–2x(x^2–1)=(x^2–1)(x^2+1 –2x)

 =(x–1)(x+1) (x–1)^2=(x+1) (x–1)^3 

b) a^6–a^4+2a^3+2a^2=a^4 (a–1)(a+1)+2a^2 (a+1) 

=a^2 (a+1)(a^3–a^2+2)=a^2 (a+1)(a^3+a^2–2a^2+2) 

=a^2 (a+1)[a^2 (a+1)–2(a+1)(a–1)]   

c) x^4+x^3+2x^2+x+1=(x^4+2x^2+1)+(x^3+x) 

=(x^2+1)^2+x(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+x+1) 

d) x^4+2x^3+2x^2+2x+1=(x^4+2x^2+1)+(2x^3+2x) 

=(x+1)^2+2x(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+2x +1)= (x^2+1) (x+1)^2

e) x^2 y+xy^2+x^2 z+y^2 z+2xyz

=xy(x+y)+xz(x+y)+yz(x+y)=(x+y)(xy+yz+zx) 

f) x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=x^4 (x+1)+x^2 (x+1)+(x+1)=(x+1)(x^4+x^2+1)

Bài 3. 

a) A=xy–4y–5x+20 , với x=14 ; y=5,5 

Ta có A=xy–4y–5x+20=y(x–4)–5(x–4)=(x–4)(y–5) 

Với x=14 ; y=5,5 ta có A=(14-4)(5,5-5)=1 

b) B=x^2+xy–5x–5y ; với x=5 1/5; y=4 4/5

B=x(x+y)–5(x +y)=(x+y)(x-5)

Với x=5 1/5; y=4 4/5 ta có: B=(5 1/5+4 4/5)(5 1/5-5)=10.1/5=2 

c) C=xyz–(xy+yz+zx)+x+y+z–1 , với x=9,y=10,z=11.

Ta có: C=xyz–xy–yz–zx+x+y+z–1 

=(xyz–xy)–(yz–y)-(zx-x)+(z-1)

=xy(z–1)–y(z–1)–x(z–1)+(z–1) 

 =(z–1)(xy–y–x+1) 

Với x=9,y=10,z=11 , ta có: 

C=(11–1)(9.10–10–9+1)=10.72=720 

d) D=x^3–x^2 y–xy^2+y^3  với  x=5,75;y=4,25

Ta có: D=(x^3+y^3 )–xy(x+y)=(x+y)(x^2–xy+y^2–xy) 

=(x+y)[x(x-y)-y(x-y)]=(x+y) (x-y)^2

Với  x=5,75;y=4,25 , ta có :

D=(5,75+4,25) (5,75–4,25)^2=10.1,5^2=10.2,25=22,5 

Bài 4. 

 a) x^2 (x-5)+5-x=0=(x-5)(x-1)(x+1).   x=5 hoặc x=±1.

b) (3x^4-9x^3 )+(9x^2-27x)=0⇔3x^3 (x-3)+9x(x-3)=0⇔3x(x-3)(x^2+3)=0.

  x=0 hoặc x=3.

c) x^2 (x+8)+x^2=-8x⇔x(x+1)(x+8)=0  x=-8,x=-1 hoặc x=0.

d) (x+3)(x^2-3x+5)=x^2+3x⇔(x+3)(x^2-4x+5)=0 

⇔x=-3. (do x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0)

Nhiệm vụ 3: GV phát đề luyện tập theo từng bàn, các bạn trong cùng bàn thảo luận, đưa ra đáp án đúng

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: 

Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn

A^2+2AB+B^2=(A+B)^2   

A^2-2AB+B^2=(A-B)^2  

A^2-B^2=(A-B)(A+B) .

A^3+3A^2 B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

A^3-3A^2 B+3AB^2-B^3=(A-B)^3

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2 ) .

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2 ) .

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a) 4x^2-12x+9b) 4x^2+4x+1c) 1+12x+36x^2

d) 9x^2-24xy+16y^2e) x^2/4+2xy+4y^2f) -x^2+10x-25

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a) (3x-1)^2-16                  b) (5x-4)^2-49x^2

c)(2x+5)^2-(x-9)^2                                d) (3x+1)^2-4(x-2)^2

e) 9(2x+3)^2-4(x+1)^2                  f) 4b^2 c^2-(b^2+c^2-a^2 )^2

Bài 3. :  Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 

a) x^3+6x^2+12x+8             b) x^3-3x^2+3x-1

c) 1-9x+27x^2-27x^3                       d) x^3+3/2 x^2+3/4 x+1/8

e) 27x^3-54x^2 y+36xy^2-8y^3

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x^2+2x-8; b) x^2+5x+6;

c) 4x^2-12x+8; d) 3x^2+8xy+5y^2. 

Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 4(x^2-y^2)-8(x-ay)-4(a^2-1)                    

 b) -4x^2+12xy-9y^2+25            

c) x^2-2xy+y^2-4m^2+4mn-n^2

Bài 6. Tìm x, biết

a)(2x-5)^2-(5+2x)^2=0;b) 27x^3-54x^2+36x=8.

c) (x^3+8)-(x+2)(x-4)=0 d) x^6-1=0 

Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử)

a) x^4+4  b) x^4+64           c) x^8+x^7+1

d) x^8+x^4+1             e) x^5+x+1f) x^3+x^2+4

g) x^4+2x^2-24  h) x^3-2x-4           i) a^4+4b^4

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.

- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 3:

Bài 1. 

a) 4x^2-12x+9=(2x-3)^2b)4x^2+4x+1=(2x+1)^2

c) 1+12x+36x^2=(1+6x)^2

d)9x^2-24xy+16y^2=(3x-4y)^2

e) x^2/4+2xy+4y^2=(x/2+2y)^2

f) -x^2+10x-25=-(x-5)^2

Bài 2. 

a) 

(3x-1)^2-16=(3x-1-4)(3x-1+4)

=(3x-5)(3x=3)=3(3x-5)(x+1)

b) (5x-4)^2-49x^2=(5x-4-7x)(5x-4+7x)=-8(x+2)(3x-1)

c) 

(2x+5)^2-(x-9)^2=(2x+5-x+9)(2x+5+x-9)=(x+14)(3x-4)

d) (3x+1)^2-4(x-2)^2=(x+5)(5x-3)

e)9(2x+3)^2-4(x+1)^2=(4x+7)(8x+11)

f) 4b^2 c^2-(b^2+c^2-a^2 )^2=[2bc-(b^2+c^2-a^2 )][2bc+(b^2+c^2-a^2 )]

=[a^2-(b-c)^2 ][(b+c)^2-a^2 ]

=(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)

Bài 3. 

a) x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3b) x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3

c) 1-9x+27x^2-27x^3=(1-3x)^3

d) x^3+3/2 x^2+3/4 x+1/8=(x+1/2)^3

e) 27x^3-54x^2 y+36xy^2-8y^3=(3x-2y)^3

Bài 4. 

a) x^2+2x-8=(x+1)^2-9=(x-2)(x+4).

b) x^2+5x+6=x^2+4x+4+x+2=(x+2)^2+(x+2)=(x+2)(x+3).

c) 4x^2-12x+8=4x^2-12x+9-1=(2x-3)^2-1^2=4(x-2)(x-1).

d) 3x^2+8xy+5y^2=3(x^2+2xy+y^2 )+2xy+2y^2=3(x+y)^2+2y(x+y)=(x+y)(3x+5y).

Bài 5.

a) 4(x^2-y^2)-8(x-ay)-4(a^2-1) =4x^2-4y^2-8x+8ay-4a^2+4

=-4(y^2+2ay+a^2 )+4(x^2-2x^2+1)=4(x-1)^2-4(y+a)^2

=4(x-1-y-1)(x-1+y+a)

b) -4x^2+12xy-9^2+25=-(2x-3y)^2+25=(5-2x+3y)(5+2x-3y)

c) x^2-2xy+y^2-4m^2+4mn-n^2=(x-y)^2-(2m-n)^2

=(x-y-2m+n)(x-y+2m-n)

Bài 6.

a) (2x-5)^2-(5+2x)^2=0⇔-10.4x=0⇔x=0.

b).27x^3-54x^2+36x=8⇔(3x-2)^3=0⇔x=2/3

c) (x^3+8)-(x+2)(x-4)=0⇔(x+2)(x^2-3x+8)=0⇔[█(&x+2=0@&x^2-3x+8=0)┤.

Do đó x=-2 vì x^2-3x+8=(x-3/2)^2+23/4>0 với mọi x.

d) x^6-1=0⇔(x^2-1)(x^4+x^2+1)=0

⇔x^2-1=0 (Vì x^4+x^2+1>0với mọi x)

⇔x=±1.

Bài 7.

a) x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)

b) x^4+64=x^4+16x^2+64-16x^2=(x^2+8)^2-16x^2=(x^2+8-4x)(x^2+8+4x)

c) x^8+x^7+1=x^8-x^2+x^7-x+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)

d) x^8+x^4+1=x^8+2x^4+1-x^4=(x^4+1)^2-x^4=(x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1) 

=(x^4-x^2+1)(x^4+2x^2+1-x^2 )=(x^4-x^2+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

e) x^5+x+1=x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1

=x^3 (x^2+x+1)-x^2 (x^2+x+1)+(x^2+x+1)

=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)

f) x^3+x^2+4=x^3+8+x^2-4=(x+2)(x^2-2x+4)+(x+2)(x-2)=(x+2)(x^2-x+6)

g) x^4+2x^2-24=x^4+6x^2-4x^2-24=x^2 (x^2+6)-4(x^2+6)=(x^2+6)(x-2)(x+2)

h) x^3-2x-4=x^3-8-2x+4=(x-2)(x^2+x+4)-2(x-2)

=(x-2)(x^2+x+2)

i) a^4+4b^4=a^4+4a^2 b^2+4b^4-4a^2 b^2=(a^2+2b^2 )^2-4a^2 b^2

=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)

Nhiệm vụ 4:  GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4

DẠNG 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp giải: 

Nhiều khi phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử. Thông thường, ta xem xét đến phương pháp nhân tử chung trước tiên, tiếp đó ta xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức đã học hay không? Có thể nhóm hoặc tách hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử hay không?

Định lí Bézout

Nếu đa thức   có nghiệm x=a thì P(x)=(x-a).Q(x), trong đó Q(x) cũng là một đa thức của biến x.

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)

a) x^2-5x+6b) 3x^2+9x-30        c) x^2-3x+2

d) x^2-9x+18          e) x^2-6x+8                   f) x^2-5x-14

g) x^2+6x+5h) x^2-7x+12         i) x^2-7x+10

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng

tử)

a) 3x^2-5x-2b) 2x^2+x-6c) 7x^2+50x+7

d) 12x^2+7x-12e) 15x^2+7x-2

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)

a) a^4+a^2+1b) a^4+a^2-2c) x^4+4x^2-5

d) x^3-19x-30e) x^3-7x-6f)x^3-5x^2-14x

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)

a) (x^2+x)^2-14(x^2+x)+24b) (x^2+x)^2+4x^2+4x-12

c) x^4+2x^3+5x^2+4x-12

d) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

e) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

f) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

Bài 5. Tìm x biết:

a) (x-2)(x-3)+(x-2)-1=0  b) (x+2)^2–2x(2x+3)=(x+1)^2 

c) 6x^3+x^2=2x           d) x^8–x^5+x^2–x+1=0 

Bài 6. Chứng minh với mọi số nguyên n thì A=n^4-2n^3-n^2+2n chia hết cho 24.

- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.

- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 4:

Bài 1. 

a) x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x⁡- 2)-3(x⁡- 2)=(x⁡- 2)(x⁡- 3)

b) 3x^2+9x-30=3x^2+15x-6x-30=3(x+5)(x-2)

c) x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=(x-2)(x-1)

d) x^2-9x+18=x^2-3x-6x+18=(x-3)(x-6)

e) x^2-6x+8=x^2-2x-4x+8=(x-2)(x-4)                  

f) x^2-5x-14=x^2+2x-7x-14=(x+2)(x-7)

g) x^2+6x+5=x^2=x+5x+5=(x+1)(x+5)

h) x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=(x-3)(x-4)         

i) x^2-7x+10=x^2-2x-5x+10=(x-2)(x-5)

Bài 2. 

a) 3x^2-5-2=3x^2+x-6x-2=(3x+1)(x-2)

b) 2x^2+x-6=2x^2+4x-3x-6=(x+2)(2x-3)

c) 7x^2+50x+7=7x^2+49x+x+7=(x+7)(7x+1)

d) 12x^2+7x-12=12x^2+16x-9x-12=(3x+4)(4x-3)

e) 15x^2+7x-2=15x^2+10x-3x-2=(3x+2)(5x-1)

Bài 3. 

a) a^4+a^2+1=a^4+2a^2+1-a^2=(a^2+1)^2-a^2=(a^2-a+1)(a^2+a+1)

b) a^4+a^2-2=a^4-1+a^2-1=(a^2-1)(a^2+2)=(a-1)(a+1)(a^2+2)

c) x^4+4x^2-5=(x^2-1)(x^2+5)=(x-1)(x+1)(x^2+5)

d) x^3-19x-30=x^3+8-19x-38=(x+2)(x^2-2x+4)-19(x+2)

=(x+2)(x^2-2x-15)=(x+2)(x^2-2x+1-16)=(x+2)(x-5)(x+3)

e) x^3-7x-6=x^3+1-7x-7=(x+1)(x^2-x+1)

=(x+1)(x+2)(x-3)

f) x^3-5x^2-14x=x(x^2-5x-14)=x(x^2-7x+2x-14)=x(x-7)(x+2)

Bài 4. 

a) (x^2+x)^2-14(x^2+x)+24

Đặt x^2+x=t khi đó đa thức đã cho trở thành 

t^2-14t+24=t^2-12t-2t+24=(t-6)(t-2)

Thay x^2+x=t ta được 

(x^2+x-6)(x^2+x-2)=(x^2+3x-2x-6)(x^2-1+x-1)=(x+3)(x-2)(x-1)(x+2)

b) (x^2+x)^2+4x^2+4x-12=(x^2+x)^2+4(x^2+x)-12

Đặt x^2+x=t khi đó đa thức đã cho trở thành 

t^2+4t-12=t^2+6t-2t-12=(t+6)(t-2)

Thay x^2+x=t ta được 

(x^2+x+6)(x^2+x-2)=(x^2+x+6)(x^2-1+x-1)=(x^2+x+6)(x-1)(x+2)

c) x^4+2x^3+5x^2+4x-12=x^4+2x^3+x^2+4x^2+4x-12=(x^2+x)^2+4(x^2+x)-12=(x^2+x+6)(x-1)(x+2) 

(Khi đó bài toán trở về bài phần b)

d) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1

Đặt x^2+5x+5=t khi đó đa thức đã cho trở thành 

(t-1)(t+1)+1=t^2-1+1=t^2=(x^2+5x+5)^2 

e) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15

Đặt x^2+8x+11=t khi đó đa thức đã cho trở thành 

(t-4)(t+4)+15=t^2-16+15=t^2-1=(t-1)(t+1) 

=(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)=(x^2+8x+12)(x+2)(x+6)

f) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-12

Đặt x^2+5x+5=t khi đó đa thức đã cho trở thành 

(t-1)(t+1)-24=t^2-25=(t-5)(t+5)=(x^2+5x)(x^2+5x+10)=x(x+5)(x^2+5x+10) 

Bài 5. 

a) (x-2)(x-3)+(x-2)-1=0

⇔(x–2)(x–3+1)–1=0 ⇔(x–2)(x–2)=1 ⇔(x–2)^2=1 

⇔x–2=1 hoặc x-2=-1 ⇔x=3 hoặc x=1 

b) (x+2)^2–2x(2x+3)=(x+1)^2 

⇔x^2+4x+4–4x^2–6x=x^2+2x+1 

⇔4x^2+4x–3=0 ⇔4x^2+4x+1-4=0⇔(2x+1)^2-2^2=0

⇔(2x+1-2)(2x+1+2)=0

⇔(2x-1)(2x+3)=0

⇔2x–1=0 hoặc 2x+3=0 ⇔x=1/2 hoặc x=(-3)/2

c) 6x^3+x^2=2x 

⇔6x^3+x^2–2x=0 ⇔x(6x^2+x–2)=0 ⇔x(x^2+4x-3x-2)=0

⇔x[2x(3x+2)-(3x+2)]=0

⇔x(3x+2)(2x-1)=0⇔x=0 hoặc 3x+2=0 hoặc 2x-1=0

Vậy x=0;x=-2/3;x=1/2

d) x^8–x^5+x^2–x+1=0 

Nhân hai vế với 2:

2x^8–2x^5+2x^2–2x+2=0 

(x^8-2x^5+x^2 )+(x^2-2x+1)+(x^8+1)=0

 (x^4–x)^2+(x–1)^2+x^8+1=0 .

Vế trái lớn hơn 0, vế phải bằng 0. Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 6.

A=(n-2)(n^3-n)=(n-2)(n-1)n(n+1)

A là tích của 4 số tự nguyên liên tiếp nên A chia hết cho 2 ,cho 3 và cho 4. Vì (2,3)=1 nên A chia hết cho 6. Suy ra A chia hết cho 4.6=24