Lời giải Câu 3 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 3 :

Đề bài :

Cho x, y ,z là 3 số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz$  .Chứng minh :

                      $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq 1$          (*)

Hướng dẫn giải chi tiết :

Ta có :        

+   $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq 2\sqrt{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2}{3}x$

             =>   $\frac{x^{2}}{y+2}\geq \frac{6x-y-2}{9}$

+   $\frac{y^{2}}{z+2}\geq \frac{6y-z-2}{9}$

+   $\frac{z^{2}}{x+2}\geq \frac{6z-x-2}{9}$

=>   $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq \frac{5(x+y+z)-6}{9}$

Mặt khác :  $\frac{(x+y+z)^{3}}{9}\geq 3xyz;x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}$    (1)

            =>  $\frac{(x+y+z)^{3}}{9}\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}<=> x+y+z\geq 3$                   (2)

Từ (1),(2) =>     $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geq 1$      (đpcm ).