Lời giải Câu 2 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Lê Qúy Đôn

Lời giải  câu 2 :

Đề bài :

a.  Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( p;q) thỏa mãn $p^{2}-5q^{2}=4$ .

b.  Cho đa thức $f(x)=x^{2}+bx+c$  biết  b, c là các hệ số dương và f(x) có nghiệm .

Chứng minh  $f(2)\geq 9\sqrt[3]{c}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có : $p^{2}-5q^{2}=4<=>p^{2}-4=5q^{2} $ .

     <=>      $(p-2)(p+2)=5q^{2}$

Do  0 < p - 2 < p + 2 và q là số nguyên tố => p - 2 chỉ nhận bộ giá trị $\begin{Bmatrix}1;5;q;q^{2}\end{Bmatrix}$

Ta có bảng tính toán :

Theo bài ra : p và q là những số nguyên tố => (p; q) =( 7; 3 ) .  (thỏa mãn )

Vậy (p ; q) = ( 7; 3) .

b.  Để f(x) có nghiệm <=> $\Delta \geq 0<=> b^{2}\geq 4c<=> b\geq 2\sqrt{c}$

=>  $f(2)=4+2b+c\geq 4+4\sqrt{c}+c=(\sqrt{c}+2)^{2}$

Ta lại có : $\sqrt{c}+2=\sqrt{c}+1+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{c}}$

    <=>      $f(2)\geq (3\sqrt[3]{\sqrt{c}})^{2}=9\sqrt[3]{c}$

=>  (đpcm).