Giải câu 6 trang 73 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Xét tam giác NCA vuông tại N:

Cos A = $\frac{AN}{AC}$  (1)

Xét tam giác KBA vuông tại K:

Cos A =  $\frac{AK}{AB}$  (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{AN}{AC}$ = $\frac{AK}{AB}$

Xét tam giác ANK và tam giác ACB có:

• chung góc A
• $\frac{AN}{AC}$ = $\frac{AK}{AB}$

=> $\Delta ANK\sim \Delta ACB$ (c-g-c)

b, $\widehat{BAC}=45^{0}$ => $\frac{AN}{AC}$ = $\frac{AK}{AB}$ = cos45$^{0}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

=> $\Delta ANK\sim \Delta ACB$ theo tỉ lệ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

=> S_ANK = $\frac{1}{2}$S_ACB

S_BNKC = S_ACB - S_ANK = $\frac{1}{2}$S_ACB

=> S_ANK = S_BNKC

c, S_ANK = cos$^{2}$BAC.S_ACB

3.S_ANK = S_BNKC ; S_BNKC = S_ACB - S_ANK => S_ANK = $\frac{1}{4}$S_ACB

=> cos$^{2}$BAC = $\frac{1}{4}$ => cos BAC = $\frac{1}{2}$

d, Cos C = $\frac{KC}{CB}$ = $\frac{CH}{AC}$

=> $\Delta KCH\sim \Delta BCA$ (c-g-c)  => S_KCH = cos$^{2}$C.S_BCA

Cos B = $\frac{HB}{AB}$ = $\frac{NB}{CB}$

=> $\Delta HNB\sim \Delta ABC$ (c-g-c) => S_HNB = cos$^{2}$B.S_BCA

S_NKH = S_ABC - S_ANK - S_HNB - S_KCH = S_ABC - cos$^{2}$A.S_ACB - cos$^{2}$B.S_BCA - cos$^{2}$C.S_BCA = $(1 - cos^{2} A - cos^{2} B - cos^{2} C)$.S_ABC

=> ĐPCM