Giải câu 5 trang 66 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
5. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{0}$, đường cao AH. Kẻ HM $\perp $ AB tại M, HN $\perp $ AC tại N. Chứng minh:
a, AM.AB = AN.AC = HB.HC
b, AM.AB + AN.AC = 2.MN$^{2}$
c, $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BM}{CN}$
d, AM.BM + AN.CN = AH$^{2}$
e, HM.AB + HN.AC = AB.AC
f, $\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$
g, MN$^{3}$ = BC.BM.CN
a,
- Xét tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao.
Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = HB.HC (1)
- Xét tam giác AHB vuông tại H, có HM là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = AM.AB (2)
- Xét tam giác AHC vuông tại H, có HN là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:
AH$^{2}$ = AN.AC (3)
Từ (1); (2) và (3) => AM.AB = AN.AC = HB.HC
b, Tứ giác ANHM là hình chữ nhật => MN = AH
Ta có: AH$^{2}$ = AM.AB và AH$^{2}$ = AN.AC (từ phần a)
=> AM.AB + AN.AC = 2AH$^{2}$ = 2MN$^{2}$ (Vì MN = AH)
c, + Xét tam giác HAB vuông tại H có HN là đường cao
=> BH$^{2}$ = BM.AB
+ Xét tam giác HAC vuông tại H có HM là đường ca => CH$^{2}$ = CN.AC
+ Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao =>
- AB$^{2}$ = BH.BC
- AC$^{2}$ = CH.BC
=> $\frac{AB^{2}}{AC^{2}}= \frac{BH}{CH}$
<=> AB$^{2}$.CH = AC$^{2}$.BH
<=> AB$^{4}$.CH$^{2}$ = AC$^{4}$.BH$^{2}$
<=> AB$^{4}$.CN.AC = AC$^{4}$.BM.AB
<=> AB$^{3}$.CN = AC$^{3}$.BM
<=> $\frac{AB^{3}}{AC^{3}}=\frac{BM}{CN}$ (đpcm)
d, Xét tam giác AHB vuông tại H có HM là đường cao
=> $HM^{2}=AM.BM$ (hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
- Tương tự với tam giác vuông AHC có: $HN^{2}=AN.CN$
=> AM.BM + AN.CN = $HM^{2}+HN^{2}$
Mà $HM^{2}+HN^{2}=MN^{2}=AH^{2}$ (vì AH = MN và áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông MHN).
=> AM.BM + AN.CN = $AH^{2}$
e, HM.AB = AH.HB (hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông trong tam giác vuông AHB có HM là đường cao)
HN.AC = AH.HC (hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông trong tam giác vuông AHC có HN là đường cao)
=> HM.AB + HN.AC = AH.HB + AH.HC = AH.(HB + HC) = AH.BC
f, $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông ABC có AH là đường cao)
$\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AH^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$ (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông AHB có HM là đường cao)
=> $\frac{1}{HM^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{BH^{2}}$
e, HB$^{2}$ = AB.MB => AB = $\frac{HB^{2}}{MB}$
HC$^{2}$ = AC.NC => AC = $\frac{HC^{2}}{NC}$
AB.AC = AH.BC => $\frac{HB^{2}}{MB}$.$\frac{HC^{2}}{NC}$ = AH.BC
=> HB$^{2}$.HC$^{2}$ = AH.BC.MB.CN
Mà AH$^{2}$ = HB.HC <=> AH$^{4}$ = HB$^{2}$.HC$^{2}$
=> AH$^{4}$ = AH.BC.MB.CN => AH$^{3}$ = BC.MB.CN
Giải những bài tập khác
Giải bài tập những môn khác
Giải sgk lớp 9 VNEN
Tài liệu lớp 9
Văn mẫu lớp 9
Đề thi lên 10 Toán
Đề thi môn Hóa 9
Đề thi môn Địa lớp 9
Đề thi môn vật lí 9
Tập bản đồ địa lí 9
Ôn toán 9 lên 10
Ôn Ngữ văn 9 lên 10
Ôn Tiếng Anh 9 lên 10
Đề thi lên 10 chuyên Toán
Chuyên đề ôn tập Hóa 9
Chuyên đề ôn tập Sử lớp 9
Chuyên đề toán 9
Chuyên đề Địa Lý 9
Phát triển năng lực toán 9 tập 1
Bài tập phát triển năng lực toán 9
Bình luận