Giải câu 3 trang 65 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:

c$^{2}$ = a.c' (1);

b$^{2}$ = a.b' (2)

=> Lấy (2) chia (1) ta có: $\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{b'}{c'}$ hay $\left ( \frac{b}{c} \right )^{2}=\frac{b'}{c'}$

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$b^{2}=b'^{2}+h^{2}$

$c^{2}=c'^{2}+h^{2}$

=> $b^{2}-c^{2}=b'^{2}+h^{2}-c'^{2}-h^{2}=b'^{2}-c'^{2}$

b, i. $\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}$ => $\frac{HB+HC}{HC}=\frac{1+4}{4}$ => $\frac{BC}{HC}=\frac{5}{4}$

=> HC = $\frac{4.BC}{5}=\frac{4.25}{5}$ = 20

HB = BC - HC = 25 - 20 = 5

Vận dụng các kết quả trong câu a ta có:

+ $\left ( \frac{AB}{AC} \right )^{2}=\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}$ => $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$ => AC = 2AB

+ $AB^{2}-AC^{2}=HB^{2}-HC^{2}=5^{2}-20^{2}=-375$

=> $AB^{2}-(2AB)^{2}=-375$ => AB = $5\sqrt{5}$ => AC = $10\sqrt{5}$

+ AH = $\sqrt{AB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{5})^{2}-5^{2}}=10$

ii. + $\left ( \frac{AB}{AC} \right )^{2}=\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$ => $\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$ => AB = 0,75AC

+ $\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$ => HB = HC.$\frac{9}{16}$

Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền ta có:

AH$^{2}$ = HB.HC => 24$^{2}$ = HC.$\frac{9}{16}$.HC => HC = 32 => HB = 32.$\frac{9}{16}$ = 18

+ BC = HB + HC = 18 + 32 = 50.

+  $AB^{2}-AC^{2}=HB^{2}-HC^{2}$

=> $(0,75AC)^{2}-AC^{2}=18^{2}-32^{2}=-700$ => AC = 40

+ AB = 0,75.40 = 30

iii. + $\left ( \frac{AB}{AC} \right )^{2}=\frac{HB}{HC}$ => $\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$

=> $\frac{HB+HC}{HC}=\frac{9+16}{16}$ => $\frac{BC}{HC}=\frac{25}{16}$ => HC = BC.$\frac{16}{25}$ = 125.$\frac{16}{25}$ = 80

+ HB = BC - HC = 125 - 80 = 45

+ $AB^{2}-AC^{2}=HB^{2}-HC^{2}=45^{2}-80^{2}=-4375$

=> $(0,75AC)^{2}-AC^{2}=-4375$ => AC = 100 => AB = 0,75.100 = 75

+ AH = $\sqrt{AB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{75^{2}-45^{2}}=60$

iv. $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$ => AB = AC.$\frac{5}{6}$

+ $\left ( \frac{AB}{AC} \right )^{2}=\frac{HB}{HC}$ => $\frac{HB}{HC}=\frac{25}{36}$ => HB = HC.$\frac{25}{36}$

Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền ta có:

AH$^{2}$ = HB.HC => 30$^{2}$ = HC.$\frac{25}{36}$.HC => HC = 36 => HB = 36.$\frac{25}{36}$ = 25

+ BC = HB + HC = 25 + 36 = 61

+  $AB^{2}-AC^{2}=HB^{2}-HC^{2}$

=> $(AC.\frac{5}{6})^{2}-AC^{2}=25^{2}-36^{2}=-671$ => AC = 46,86

+ AB = 46,86.$\frac{5}{6}$ = 39,05