Giải câu 4 trang 121 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Xét tam giác ABC có:

• AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC
• AO = $\frac{1}{2}$BC (= bán kính của đường tròn)

=> Tam giác ABC vuông tại A (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

b, + OK // AB và CA $\perp $ AC (Tam giác ABC vuông tại A)

=> OK $\perp $ AC

+ OK cắt AC tại H => H là trung điểm của AC và OH $\perp $ AC

Xét tam giác OAC có OA = OC 

=> Tam giác OAC cân tại O

+ OH là đường cao của tam giác cân OAC => OH là đường phân giác của góc AOC.

=> $\widehat{AOH}=\widehat{HOC}$

+ Xét tam giác AOI và tam giác IOC có:

• OA = OC
• OI là cạnh chung
• $\widehat{AOI}=\widehat{IOC}$

=> $\Delta $AOI = $\Delta $IOC

=> $\widehat{OAI}=\widehat{OCI}$

+ IC là tiếp tuyến của đường tròn tại C

=>$\widehat{OCI}=90^{0}$ =>  $\widehat{OAI}=90^{0}$

=> OA $\perp $ AI tại A

=> IA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

c, OC = $\frac{1}{2}$BC = 15 cm

+ AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{30^{2}-18^{2}}=24$ (cm)

+ HC = $\frac{1}{2}$AC = 12 cm

+ OH = $\sqrt{OC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$ (cm)

+ cos$\widehat{HOC}=\frac{OH}{OC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$ = cos$\widehat{IOC}$

+ cos$\widehat{IOC}=\frac{OC}{OI}=\frac{3}{5}=0,6$  

=> OI = $\frac{OC}{0,6}=\frac{15}{0,6}=25$ (cm)

+ CI = $\sqrt{OI^{2}-OC^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20$ (cm)

d, Ta có IA và IC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O)

=> IA = IC 

Mà OA = OC => OI là đường trung trực của AC

K $\in $ OI => KA = KC

=> Tam giác AKC cân tại K

=> $\widehat{CAK}=\widehat{ACK}$

+ Mà $\widehat{KAC}=\widehat{KCI}$ (góc nội tiếp = góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung đó)

=> $\widehat{ACK}=\widehat{KCI}$

=> CK là phân giác của góc ACI