Giải câu 2 trang 121 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O)

=> MA = MB

Mà OA = OB (= bán kính của đường tròn)

=> OM là đường trung trực của AB

=> K là trung điểm của AB hay AB = 2AK

Gọi G là trung điểm của OM

Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông ta có: GA = GO = GM = GB = GH

=> 5 điểm M, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn tâm G đường kính MO

b, Xét tam giác OKI và tam giác OHM

• Chung $\widehat{KOI}$ 
• $\widehat{OKI}=\widehat{OHM}=90^{0}$

=> Tam giác OKI đồng dạng với tam giác OHM

=> $\frac{OK}{OH}=\frac{OI}{OM}=\frac{KI}{HM}$

<=> OK.OM = OH.OI (1)

+ Xét tam giác AMO vuông tại A có AK là đường cao

=> OA$^{2}$ = OK.OM (2)

Từ (1) và (2) => OH.OI = OK.OM = OA$^{2}$ = R$^{2}$ 

c, Ta có OM là đường trung trực của AB và đường trung trực của BN cắt OM tại E nên:

EA = EB và EN = EB

=> EA = EN

=> Tam giác AEN cân tại E

Gọi F là trung điểm của AN thì EF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác AEN.

=> EF $\perp $ OA mà OA $\perp $ MA (tính chất tiếp tuyến)

=> EF // MA

Xét tam giác OAM có EF // MA nên theo dịnh lí Ta - lét ta có:

$\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}$ (*)

Vì AN = 2ON và F là trung điểm của AN nên AF = FN = ON 

=> $\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}$ (**)

Từ (*) và (**) =>  $\frac{OE}{OM}=\frac{2}{3}$