Giải câu 3 trang 112 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn O tại => Ax $\perp $ AB và By $\perp $ AB

=> Ax // By

Mà C $\in $ Ax và D $\in $ By => AC // BD

+ Tứ giác ACDB có AC // BD và $\widehat{CAB}=90^{0}$ => ACDB là hình thang vuông

b, Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

=> AC = CM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Tam giác ACM có AC = CM => Tam giác ACM cân tại C

Chứng mnh tương tự ta có tam giác BDM cân tại D.

c, Gọi I là trung điểm của CD => I là tâm đường tròn đường kính CD

Hình tháng vuông ABCD có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB

=> OI là đường trung bình của hình thang

=> OI $\perp $ AB tại O

+ AC và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của đường tròn (O)

=> OC là phân giác của góc ACM và góc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

=> $\widehat{AOC}=\widehat{MOC}$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{BOD}=\widehat{MOD}$

+ Ta có: $\widehat{AOC}+\widehat{MOC}+\widehat{BOD}+\widehat{MOD}=180^{0}$

=> $2.\widehat{MOC}+2.\widehat{MOD}=180^{0}$

<=> 2.$(\widehat{MOC}+\widehat{MOD})=180^{0}$

<=> $\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^{0}$

<=> $\widehat{COD}=90^{0}$

+ Xét tam giác COD vuông tại O có OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD => OI = $\frac{1}{2}$CD

=> OI = IC = ID => O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD.

+ Xét đường tròn tâm I đường kính CD và đường thẳng AB có:

• O là điểm chung duy nhất
• OI $\perp $ AB tại O

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

d, Xét tam giác NAC và tam giác NDB có  AC // BD

=> $\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}$ (hệ quả của định lí ta-lét)

Mà DB = MD và AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$

+ Xét tam giác CDA có: $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$ => MN // AC (định lí đảo của dịnh lí Ta-lét)

Mà AC $\perp $ AB => MN $\perp $ AB

e, CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM $\perp $ CD

Xét tam giác COD vuông tại O (chứng minh ở phần c), có đường cao OM

=> OM$^{2}$ = MC.MD (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Mà MC = AC và MD = DB => OM$^{2}$ = AC.DB

=> AC.BD = R$^{2}$

=> Khi M thay đổi thì tích AC.BD không đổi và luôn bằng R$^{2}$.

f, Tứ giác ACBD là hình thang vuông => S_ACBD = $\frac{(AC+BD).AB}{2}$ = $\frac{(CM+MD).AB}{2}$ = $\frac{CD.AB}{2}$

+ Để diện tích tứ giác ACBD là nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng CD là nhỏ nhất.

=> Khi đó OM $\perp $ CD và OM $\perp $ AB => CD // AB  và CD = AB

S_ACBD = $\frac{CD.AB}{2}$ = $\frac{AB^{2}}{2}$