Bài tập dạng hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập 1: 

Điều kiện a, b, c là ba cạnh của tam giác: 

$\begin{cases}2x+1&>0\\ x^{2}-1&>0\\ 2x+1+x^{2}-1>x^{2}+x+1\end{cases}\Leftrightarrow x>1$

Với x > 1 thì a > b, a > c nên a là cạnh lớn nhất

Theo định lí Côsin ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$

$\Leftrightarrow (x^{2}+x+1)^{2}=(2x+1)^{2}+(x^{2}-1)^{2}-2(2x+1)(x^{2}-1)\cos A$

$\Leftrightarrow 2x^{3}+x^{2}-2x-1=-2(2x^{3}+x^{2}-2x-1)\cos A$

$\Leftrightarrow \cos A=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \widehat{A}=120^{\circ}$

Bài tập 2: 

Ta có: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.\cos \widehat{A}$

$\Leftrightarrow BC^{2}=6^{2}+8^{2}-2.6.8.\cos 120^{\circ} = 148$

$\Leftrightarrow BC=2\sqrt{37}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{A}=\frac{1}{2}.6.8.\sin 120^{\circ}=12\sqrt{3}$