A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Chủ đề: Tổ hợp

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động khác nhau thì có m + n cách hoàn thành (hành động 1 có m cách thực hiện, hành động 2 có n cách thực hiện)

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp thì có m.n cách hoàn thành (hành động 1 có m cách thực hiện, hành động 2 có n cách thực hiện)

- Hoán vị: $P_{n}=n(n-1)...2.1$ ($n\in \mathbb{N}^{*}$)

- Chỉnh hợp: $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$ $(1\leq k\leq n)$

- Tổ hợp: $C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}$ $(1\leq k\leq n)$ hoặc $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ $(0\leq k\leq n)$

- $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k} (0\leq k\leq n)$

$C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k} (1\leq k<n)$

- Nhị thức Newton: 

$(a+b)^{4}=C_{4}^{0}a^{4}+C_{4}^{1}a^{3}b+C_{4}^{2}a^{2}b^{2}+C_{4}^{3}ab^{3}+C_{4}^{4}b^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

$(a+b)^{5}=C_{5}^{0}a^{5}+C_{5}^{1}a^{4}b+C_{5}^{2}a^{3}b^{2}+C_{5}^{3}a^{2}b^{3}+C_{5}^{4}ab^{4}+C_{5}^{5}b^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+$

$10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$

Chủ đề: Số gần đúng. Sai số

- Số gần đúng: a; số đúng: $\bar{a}$; sai số tuyệt đối của số gần đúng a: $\Delta _{a}=\left | \bar{a}-a \right |$

- Độ chính xác của số gần đúng: $\Delta _{a}=\left | \bar{a}-a \right |\leq d$, viết gọn: $\bar{a}=a\pm d$$

- Sai số tương đối: $\delta _{a}=\frac{\Delta _{a}}{\left | a \right |}$

- Quy tròn số đến một hàng cho trước:

+ Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì thay số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0

+ Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì làm như trên nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn

- Quy tròn số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Nếu đề bài yêu cầu quy tròn số a mà không nói quy tròn đến hàng nào thì quy tròn số a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó

Chủ đề: Số trung bình cộng. Trung vị. Mốt

- Số trung bình cộng (số trung bình): $\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$

- Trung vị ($M_{e}$): 

+ Nếu n lẻ thì số $\frac{n+1}{2}$ (chính giữa) là trung vị

+ Nếu n chẵn thì số trung bình cộng của hai số đứng giữa $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$ là trung vị

- Tứ phân vị:

+ Sắp xếp mẫu số liệu thành dãy không giảm

+ Tứ phân vị của mẫu số liệu trên gồm ba giá trị: $Q_{1}$, $Q_{2}$, $Q_{3}$; ba tứ phân vị chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau. ($Q_{1}$ là trung vị của nửa dãy dưới, $Q_{2}$ là trung vị của mẫu số liệu, $Q_{3}$ là trung vị của nửa dãy trên) 

- Mốt ($M_{o}$): giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số

- Khoảng biến thiên: hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu ($R=x_{max}-x_{min}$)

- Khoảng tứ phân vị: $\Delta _{Q}=Q_{3}-Q_{1}$

- Phương sai: $s^{2}=\frac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}$

- Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^{2}}$

Chủ đề: Xác suất của biến cố

- Xác suất của biến cố A: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$ (n(A): các kết quả thuận lợi cho A; n($\Omega $): số phần tử của không gian mẫu)

- Biến cố đối của biến cố A: $\bar{A}$

- Tính chất:

+ $P(\emptyset )=0;P(\Omega )=1$

+ $0\leq P(A)\leq 1$ với mỗi biến cố A

+ $P(\bar{A})=1-P(A)$ với mỗi biến cố A

Chủ đề: Tọa độ của vectơ

- Nếu $\vec{u}=(a;b)$ thì $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}$

- Với $\vec{a}=(x_{1};y_{1})$ và $\vec{b}=(x_{2};y_{2})$, ta có: $\vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow \begin{cases}x_{1}& = x_{2}\\ y_{1}& = y_{2}\end{cases}$

- $\vec{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

- Nếu $\vec{u}=(x_{1};y_{1})$ và $\vec{v}=(x_{2};y_{2})$ thì:

$\vec{u}+\vec{v}=(x_{1}+x_{2};y_{1}+y_{2})$

$\vec{u}-\vec{v}=(x_{1}-x_{2};y_{1}-y_{2})$

$k\vec{u}=(kx_{1};ky_{1})$ với $k\in \mathbb{R}$

- Nếu $M(x_{M};y_{M})$ là trung điểm của AB với $A(x_{A};y_{A})$, $B(x_{B};y_{B})$ thì $x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$; $y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$

- Nếu $G(x_{G};y_{G})$ là trọng tâm tam giác ABC với $A(x_{A};y_{A})$, $B(x_{B};y_{B})$, $C(x_{C};y_{C})$ thì $x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$; $y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$

- Nếu $\vec{u}=(x_{1};y_{1})$ và $\vec{v}=(x_{2};y_{2})$: $\vec{u}.\vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$

- $\vec{a}=(x;y)$ thì $\left | \vec{a} \right |=\sqrt{\vec{a}.\vec{a}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

- $AB=\left | \vec{AB} \right |=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

- $\vec{u}\perp \vec{v}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$

$\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left | \vec{u} \right |.\left | \vec{v} \right |}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}.\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$

Chủ đề: Phương trình đường thẳng

- Vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng $\Delta $ nếu $\vec{u}\neq 0$ và giá song song hoặc trùng $\Delta $

- Phương trình tham số của $\Delta $ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$, có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b)$:

$\begin{cases}x& = x_{0}+at\\ y& = y_{0}+bt\end{cases}$ ($a^{2}+b^{2}>0$, t là tham số)

- Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của đường thẳng $\Delta $ nếu $\vec{n}\neq 0$ và giá vuông góc với $\Delta $

-  Phương trình tổng quát của $\Delta $ đi qua $M_{0}(x_{0};y_{0})$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$:

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0\Leftrightarrow ax+by+(-ax_{0}-by_{0})=0$

- Xét $\Delta _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$ và $\Delta _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}& = 0\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}& = 0\end{cases}$ (*)

$\Delta _{1}$ cắt $\Delta _{2}$ tại $M(x_{0};y_{0})$ $\Leftrightarrow $ hệ (*) có nghiệm duy nhất $(x_{0};y_{0})$

$\Delta _{1}$ song song với $\Delta _{2}$ $\Leftrightarrow $ hệ (*) vô nghiệm

$\Delta _{1}$ trùng $\Delta _{2}$ $\Leftrightarrow $ hệ (*) vô số nghiệm

- Góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}=(a_{1};b_{1})$, $\vec{u_{2}}=(a_{2};b_{2})$:

$\cos (\Delta _{1}, \Delta _{2} )=\frac{\left | a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2} \right |}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$

- $\Delta _{1}\perp \Delta _{2}\Leftrightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$

- Khoảng cách từ $M(x_{0};y_{0})$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$:

$d(M,\Delta )=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Chủ đề: Phương trình đường tròn

- Phương trình chính tắc của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

- Phương trình tổng quát: $x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0$, $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}-c}$

- Phương trình tiếp tuyến của đường thẳng $\Delta $ qua $M(x_{0};y_{0})$, vectơ pháp tuyến $\vec{IM}=(x_{0}-a;y_{0}-b)$: $(x_{0}-a)(x-x_{0})+(y_{0}-b)(y-y_{0})=0$

Chủ đề: Ba đường Conic

- Elip:

+ Phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0)

+ Tiêu điểm: $F_{1}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}};0)$, $F_{2}(\sqrt{a^{2}-b^{2}};0)$

+ Tiêu cự: $F_{1}.F_{2}=2c=2\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

+ $MF_{1}+MF_{2}=2a$

- Hypebol: 

+ Phương trình chính tắc: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a, b > 0)

+ Tiêu điểm: $F_{1}(-\sqrt{a^{2}+b^{2}};0)$, $F_{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}};0)$

+ Tiêu cự: $F_{1}.F_{2}=2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

+ |$MF_{1}-MF_{2}$| = 2a

- Parabol:

+ Phương trình chính tắc: $y^{2}=2px$ (p > 0)

+ Tiêu điểm: $F(\frac{p}{2};0)$

+ Đường chuẩn: $\Delta :x=-\frac{p}{2}$