Bài tập dạng phương trình đường tròn

Bài tập 1: 

Tâm I của đường tròn thuộc đường thẳng d nên I(-2a+3;a)

Đường tròn (C) tiếp xúc với $\Delta $ nên: $d(I,\Delta )=R\Leftrightarrow \frac{\left | a-2 \right |}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow$ a=6 hoặc a=-2

Do đó: I(-9;6) hoặc I(7;-2)

Phương trình đường tròn (C): $(x+9)^{2}+(y-6)^{2}=\frac{8}{5}$ hoặc $(C):(x-7)^{2}+(y+2)^{2}=\frac{8}{5}$

Bài tập 2: 

Điểm D(d;0) ($\frac{1}{4}<d<2$) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{d-\frac{1}{4}}{2-d}=\frac{\sqrt{(\frac{9}{4})^{2}+(-3)^{2}}}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\Rightarrow 4d-1=6-3d\Rightarrow d=1$

Phương trình đường thẳng AD: $\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{-3}\Leftrightarrow x+y-1=0$

Phương trình đường thẳng AC: $\frac{x+2}{4}=\frac{y-3}{-3}\Leftrightarrow 3x+4y-6=0$

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1 - b và bán kính cũng bằng b

Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b, nên ta có: 

$\frac{\left | 3(1-b)+4b-6 \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=b\Leftrightarrow \left | b-3 \right |=5b\Leftrightarrow $ $b=-\frac{4}{3}<0$ (loại) hoặc $b=\frac{1}{2}$ 

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: $(x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$