Lời giải Bài 5 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 3 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Lời giải  bài 5 :

Đề bài :

Cho $\triangle ABC$  .Chứng minh rằng :

a.  $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

b.  $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .

<=>  $8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq 1$ .

Xét   $P=8\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$ .

<=>   $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2})$ .

<=>   $P=4\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$ .

=>     $4\sin ^{2}\frac{C}{2}-4\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+P=0$ .   (1)

Phương trình (1) có nghiệm <=>  $\Delta {}' \geq 0$

<=>  $4\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-4P\geq 0$

=>    $P\leq \cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$

=>    $\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$ .  (đpcm)

b.  Đặt Q=   $\cos A+\cos B+\cos C$

<=>  $Q=2\cos \frac{A+B}{2}.\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^{2}\frac{C}{2}$

=>    $2\sin ^{2}\frac{C}{2}-2\cos \frac{A-B}{2}.\sin \frac{C}{2}+Q-1=0$         (2)

Phương trình (2) có nghiệm <=>  $\Delta {}' \geq 0$

<=>  $\cos ^{2}\frac{A-B}{2}-2(Q-1)\geq 0$

<=>  $Q\leq 1+\frac{1}{2}\cos ^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

=>    $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$ .    (đpcm)