Lời giải Bài 5 Đề thi thử lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên Amtesdam Hà Nội

Lời giải bài 5:

Đề ra : 

Cho $2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{15}\leq 2016$  là 15 số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố. 

Lời giải chi tiết :

Phản chứng : giả sử 15 số tự nhiên đó đều là hợp số.

Do $2016<2209=47^{2}$  nên mỗi số tự nhiên đó đều có một ước nguyên tố nhỏ hơn 47. 

Gọi  $p_{i}$ là ước nguyên tố của $a_{i}$     (  $p_{i}<47$  )

Do có tất cả 14 số nguyên tố nhỏ hơn 47 nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại  $i\neq j$ mà $p_{i}=p_{j}$ .

=>  $a_{i},a_{j}$  không nguyên tố cùng nhau =>  mâu thuẫn với giả thiết .

Vậy trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố.