Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, I là hình chiếu của O trên CD => OI $\perp $ CD

Tam giác OCD cân tại O (OC = OD) có OI là đường cao => OI là trung tuyến 

=> IC = ID hay I là trung điểm của CD.

b, AH $\perp $ CD; BK $\perp $ CD; OI $\perp $ CD

=> AH // BK // OI

=>  AHKB là hình thang vuông

+ Hình thanh vuông AHKB có:

• OI // AH // BK
• O là trung điểm của AB

=> I là trung điểm của HK (Định lí đường trung bình của hình thang)

c,

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C và D trên AB.

+ CM $\perp $ AB và  DN $\perp $ AB

=> CM // DN

+ Tứ giác CMND có CM // DN => CMND là hình thang

+ T là hình chiếu của I trên AB => IT $\perp $ AB

=> IT // CM // DN

+ Hình thang CMND có:

• I là trung điểm của CD
• IT // CM // DN

=> IT là đường trung bình của hình thang

=> IT = $\frac{CM+DN}{2}$ <=> CM + DN = 2.IT

+ Ta có: S_ACB = $\frac{1}{2}$.CM.AB và S_ADB = $\frac{1}{2}$.DN.AB

=> S_ACB + S_ADB = $\frac{1}{2}$.CM.AB + $\frac{1}{2}$.DN.AB = $\frac{1}{2}$.AB.(CM + DN) = $\frac{1}{2}$.AB.2.IT = AB.IT

=> S_ACB + S_ADB = AB.IT (đpcm)

d, Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AH tại E và BK tại F

+ Xét tam giác IEH và tam giác IFK có:

• IH = IK ( I là trung diểm của HK)
• $\widehat{IHE}=\widehat{IKF}=90^{0}$
• $\widehat{EIH}=\widehat{FIK}$ (hai góc đối đỉnh)

=> $\Delta $IEH = $\Delta $ IFK (g - c - g)

=> S_IEH = S_IFK

+ Ta có: S_AHKB = S_AHIFB + S_IFK  và S_AEFB = S_AHIFB + S_IEH

=> S_AHKB = S_AEFB

+ Tứ giác AEFB có AE // BF và AB // EF => AEFB là hình bình hành => S_AEFB = IT.AB

=> S_AHKB = IT.AB 

+ Ta có: $IT\leq OI$ => $S_AHKB \leq OI.AB$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IT = OI hay OI $\perp $ AB khi đó CD // AB

Vậy để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất thì dây CD // AB.