Giải câu 2 trang 97 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, D đối xứng với M qua AB => AB vuông góc với M và đi qua trung điểm của DM

Xét tam giác ADM có AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => Tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự có tam giác AME cân tại A.

b, Tam giác ADM cân tại A => AB là phân giác của góc DAM

=> $\widehat{DAB}=\widehat{BAM}=\frac{1}{2}\widehat{DAM}$

Tam giác AME cân tại A => AC là đường phân giác của góc MAE.

=> $\widehat{MAC}=\widehat{CAE}=\frac{1}{2}\widehat{MAE}$

$\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM}+\widehat{MAC}+\widehat{CAE}$

<=> $\widehat{DAE}=2\widehat{BAM}+2\widehat{MAC}$ 

<=> $\widehat{DAE}=2(\widehat{BAM}+\widehat{MAC})=2\widehat{BAC}$ 

=> ĐPCM

c, Tam giác ADM cân tại A => AD = AM

Tam giác AME cân tại A => AM = AE 

=> AD = AE => tam giác ADE cân tại A

+ H là hình chiếu của A trên DE => AH vuông góc với DE

Tam giác ADE cân tại A có AH là đường cao => AH là đường trung tuyến

=> DH = HE = $\frac{1}{2}$DE

Xét tam giác vuông AHE có $\widehat{HAE}=\alpha $:

HE = AE.sin$\alpha $

=> $\frac{1}{2}$DE = AE.sin$\alpha $ <=> DE = 2AE.sin$\alpha $

d, DE lớn nhất khi AM là đường kính của đường tròn hay A, O, M thẳng hàng.