Giải câu 5 trang 78 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a,

i, AH = AC.sinC; AH = AB.sinB

AH = 

S_ABC = $\frac{1}{2}$BC.AH = $\frac{1}{2}$BC.AB.sinB

ii, S_ABC = $\frac{1}{2}$BC.AH = $\frac{1}{2}$BC.AC.sinC

+ Kẻ CI vuông góc với AB

S_ABC = $\frac{1}{2}$AB.CI = $\frac{1}{2}$AB.AC.sinA

iii. BC = BH + HC = AB.cosB + AC.cosC

b, 

+ ME là phân giác của góc A => sin$\widehat{NME}=\widehat{EMP}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$

S_ABC = $\frac{1}{2}$MN.MP

S_NME = $\frac{1}{2}$MN.ME.sin$\widehat{NME}$ = $\frac{1}{2}$MN.ME.sin$45^{0}$ = $\frac{1}{2}$MN.ME.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$MN.ME

S_NME = $\frac{1}{2}$MP.ME.sin$\widehat{EMP}$ = $\frac{1}{2}$MP.ME.sin$45^{0}$ = $\frac{1}{2}$MP.ME.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$MP.ME

Mà S_ABC = S_NME + S_NME

<=> $\frac{1}{2}$MN.MP = $\frac{\sqrt{2}}{4}$MN.ME + $\frac{\sqrt{2}}{4}$MP.ME = $\frac{\sqrt{2}}{4}$.ME.(MN + MP)

<=> MN.MP = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.ME.(MN + MP) 

<=>  $\frac{\sqrt{2}}{2}$.ME = $\frac{MN.MP}{MN+MP}$

<=> $\frac{2}{\sqrt{2}.ME}$ = $\frac{MN+MP}{MN.MP}$

<=> $\frac{\sqrt{2}}{ME}$ = $\frac{1}{MN}+\frac{1}{MP}$ (đpcm)