Giải câu 5 trang 101 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, CD vuông góc với AB tại H => HC = HD = $\frac{CD}{2}$ = 12 cm

OB = OC = OA = $\frac{AB}{2}$ = 15 cm

OH = $\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$ (cm)

HA = OA - OH = 15 - 9 = 6 (cm)

HB = OB + OH = 15 + 9 = 24 (cm)

b, CB = $\sqrt{HC^{2}+HB^{2}}=\sqrt{12^{2}+24^{2}}=12\sqrt{5}$ (cm)

AC =  $\sqrt{HC^{2}+HA^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6\sqrt{5}$ (cm)

Xét tam giác vuông HCB vuông tại H có HN là đường cao => HN.CB = CH.HB

<=> HN.$12\sqrt{5}$ = 12.24 <=> HN = 4,8$\sqrt{5}$

Xét tam giác CHA vuông tại H có HM là đường cao => HM.AC = AH.HC

<=> HM.$6\sqrt{5}$ = 6.12 <=> HM = 2,4$\sqrt{5}$

Xét tam giác ACB có :

• CO là trung tuyến ứng với cạnh AB
• CO = $\frac{AB}{2}$

=> Tam giác ACB vuông tại C (Tính chất đườn trung tuyến của tam giác vuông)

Xét tứ giác CMHN có ba góc vuông là góc $\widehat{HMC}$; $\widehat{HNC}$ và $\widehat{MCN}$

=> CMHN là hình chữ nhật

S_CMHN = HM.HN = 4,8$\sqrt{5}$.2,4$\sqrt{5}$ = 57,6 (cm$^{2}$)

c, BCD là tam tam giác đều => BH là trung tuyến của tam giác BCD ứng với cạnh CD và O là giao của ba đường trung tuyến của tam giác ABC

=> OB = $\frac{2}{3}$.HB

Ta có S_BCD = $\frac{1}{2}$.HB.CD = $\frac{1}{2}$.CB.DB.sin$60^{0}$

=> HB = CD.sin$60^{0}$ 

=> OB = $\frac{2}{3}$.CD.sin$60^{0}$ 

=> CD = $\frac{3OB}{2.sin60^{0}}$ = $\frac{3.15}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $15\sqrt{3}\approx 26$ (cm)

d, S_CAB = $\frac{1}{2}$.CH.AB

AB là cố định để S_CAB là lớn nhất thì CH là lớn nhất

CH lớn nhất khi CH = R hay CD = 2R

Vậy để S_CAB là lớn nhất thì CD = 2R = 30 (cm)