Giải câu 4 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

<=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$

Ta có: $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}\geq 2$, $\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq 3$

=> $[\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}]\geq 2+3=5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 => x = -1 (1)

Mặt khác $5-(x+1)^{2}\leq 5$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 => x = -1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 5 khi và chỉ khi x = - 1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}

b, $\frac{x^{2}-6x+15}{x^{2}-6x+11}=\sqrt{x^{2}-6x+18}$

<=> $\frac{(x-3)^{2}+6}{(x-3)^{2}+2}=\sqrt{(x-3)^{2}+9}$

Ta có: $\frac{(x-3)^{2}+6}{(x-3)^{2}+2}\geq \frac{6}{2}=3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 => x = 3 (1)

Mặt khác $\sqrt{(x-3)^{2}+9}\geq 3$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 => x = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 3 khi và chỉ khi x = 3

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}

c, $\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x-1}=2$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x-1}=2$ <=> $\sqrt{(x-1)^{2}+4}+\sqrt{x-1}=2$

Xét $\sqrt{(x-1)^{2}+4}+\sqrt{x-1}\geq 2+0=2$. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 => x = 1

=> Hai vế của phương trình đều bằng 2 khi và chỉ khi x = 1 (tm)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}

d, $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=x^{2}-6x+11$

ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$

Ta có: $(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^{2}\leq 2(x-2+4-x)=4$ <=> $0\leq \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\leq 2$ (1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}$ <=> x - 2 = 4 - x <=> x = 3

Mặt khác $x^{2}-6x+11=(x-3)^{2}+2\geq 2$ (2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 3 = 0 <=> x = 3

Từ (1) và (2) suy ra hai vế của phương trình đã cho đều bằng 2 khi và chỉ khi x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}