Giải câu 2 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}=2\sqrt{x(x+3)}$

ĐKXĐ: $x\geq 2$

$\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}=2\sqrt{x(x+3)}$ <=> $\sqrt{x}.(\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3})$ = 0

<=> $\sqrt{x}$ = 0 hoặc $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3}$ = 0

Với $\sqrt{x}$ = 0 => x = 0 (không thỏa mãn $x\geq 2$)=> loại

Với $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}-2\sqrt{x+3}$ = 0 <=> $\sqrt{x-1}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{x+3}$

<=> $x-1+2.\sqrt{(x-1)(x-2)}+x-2=4.(x+3)$ <=> $2\sqrt{(x-1)(x-2)}=2x+15$

<=> $4(x^{2}-3x+2)=4x^{2}+60x+225$ 

<=> -72x = 217 <=> x = $\frac{-217}{72}$ (không thỏa mãn điều kiện)

=> Phương trình vô nghiệm

b, $\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$

$\sqrt{2x+2}-\sqrt{2x-1}=x$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x+2} - \sqrt{2x-1} = 2x – x$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+2} - 2x) + (x - \sqrt{2x-1}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{2x+2} - 2x).(\sqrt{2x+2} + 2x)}{\sqrt{2x+2} + 2x} + \frac{(x - \sqrt{2x-1})(x + $\sqrt{2x-1})}{x + \sqrt{2x-1}}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x + 2 - 4x^{2}}{\sqrt{2x+2} + 2x} + \frac{x^{2}-2x+1}{x + \sqrt{2x-1}}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x-1)(-4x-2)}{\sqrt{2x+2} + 2x} + \frac{(x-1)^{2}}{x + \sqrt{2x-1}}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2} + 2x}+\frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}})=0$

$\Leftrightarrow x - 1 = 0$ hoặc $\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2} + 2x}+\frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}} = 0$

$\Leftrightarrow x = 1$ hoặc $\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2} + 2x}+\frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}} = 0$

$\frac{-4x-2}{\sqrt{2x+2} + 2x}+\frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{4x+2}{\sqrt{2x+2} + 2x} = \frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}}$

Với $x\geq \frac{1}{2}$ ta có: $4x + 2 > x - 1$ và $\sqrt{2x+2} + 2x > \sqrt{2x-1}+x$

$\Rightarrow$ phương trình $\frac{4x+2}{\sqrt{2x+2} + 2x} = \frac{x-1}{x + \sqrt{2x-1}}$ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}

c, $\sqrt{2x^{2}+x+9}+\sqrt{2x^{2}-x+1}=x+4$

Nhân cả hai vế với $\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1}$ ta có:

$(\sqrt{2x^{2}+x+9}+\sqrt{2x^{2}-x+1}).(\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1})$

= $(x+4)(\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1})$

<=> $2x^{2}+x+9-(2x^{2}-x+1)=(x+4)(\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1})$

<=> $2x+8=(x+4)(\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1})$

<=> $(x+4)(\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1}-2)=0$

<=> x + 4 = 0 hoặc $\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1}-2=0$

Với x + 4 = 0 => x = -4 (tm)

Với $\sqrt{2x^{2}+x+9}-\sqrt{2x^{2}-x+1}-2=0$ <=> $\sqrt{2x^{2}+x+9}=2+\sqrt{2x^{2}-x+1}$

<=> $2x^{2}+x+9 = 4+4.\sqrt{2x^{2}-x+1}+2x^{2}-x+1$

<=> $2x+4=4.\sqrt{2x^{2}-x+1}$ <=> $x+2=2.\sqrt{2x^{2}-x+1}$

<=> $(x+2)^{2}=4.(2x^{2}-x+1)$ <=> $7x^{2}-8x=0$ <=> x(7x - 8) = 0

<=> x = 0 hoặc x = $\frac{8}{7}$ (đều thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-4; 0; $\frac{8}{7}$}

d, $\sqrt{x^{2}+12}+5=3x+\sqrt{x^{2}+5}$

Đkxđ: $x \in R$

$\sqrt{x^{2}+12}+5 = 3x+\sqrt{x^{2}+5}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+12}-4) = (3x-6)+(\sqrt{x^{2}+5}-3)$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+12 - 16}{\sqrt{x^{2}+12}+4} = 3(x-2) + \frac{x^{2}+5 - 9}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+12}+4} - 3(x-2) - \frac{x^{2}-4}{\sqrt{x^{2}+5}+3}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-3 - \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3})=0$

$\Leftrightarrow$ x = 2 hoặc $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4} - \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3} - 3 = 0$

+) $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4} - \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3} - 3 = 0$

Có $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4} < \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}$ với mọi $x \in R$

Nên $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4} - \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3} - 3 < 0$ với mọi $x \in R$

Do đó $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4} - \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3} - 3 = 0$ vô nghiệm với mọi $ x \in R$

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}