Giải câu 4 trang 118 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Ta có: O'A = OA (= bán kính của đường tròn (O')

               OA = OB (= bán kính của đường tròn (O))

=> OO' là trung trực của AB 

=> I là trung điểm của AB.

b, Xét tam giác OAO' có OA = O'A ((O) và (O') có cùng bán kính)

=> Tam giác OAO' cân tại A

Mà AI $\perp $ OO' (OO'là trung trực của AB) => AI là đường trung trực ứng với cạnh OO' => I là trung diểm của OO'

Xét tứ giác OAO'B có hai đường chéo AB và OO' vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

=> Tứ giác OAO'B là hình thoi.

c,  OH $\perp $ DE và O'K $\perp $ DE => O'K // OH

=> Tứ giác O'KHO là hình thang.

+ Kẻ IM vuông góc với DE (M thuộc DE)

=> IM // OH // O'K

=> IM là đường trung bình của hình thang O'KHO 

=> M là trung điểm của HK

+ Xét tam giác IMH và tam giác IMK có:

• IM chung 
• MK = MH
• $\widehat{IMH}=\widehat{IMK}=90^{0}$

=> $\Delta $IMH = $\Delta $IMK (c.g.c)

=> IH = IK

+ Xét tam giác HIK có IH = IK => Tam giác HIK cân tại I.

d, OH $\perp $ DE => OH $\perp $ AD

=> H là trung điểm của AD (tính chất đường kính và dây của đường tròn)

+ Xét tam giác ADB có:

• I là trung diểm của AB
• H là trung điểm của AD

=> HI là đường trung bình của tam giác ADB

=> HI = $\frac{BD}{2}$ (Tính chất đường trung bình của tam giác)

e, O'K $\perp $ DE => O'K $\perp $ AE

Mà AE là dây cung của đường tròn tâm O' => K là trung điểm của AE (tính chất đường kính và dây của đường tròn)

+ Xét tam giác ABE có:

• I là trung điểm của AB
• K là trung điểm của AE

=> IK là đường trung bình của tam giác ABE

=> IK = $\frac{BE}{2}$ (Tính chất đường trung bình của tam giác)

+ Ta có: IH = IK (chứng minh ở phần c)

=> $\frac{BD}{2}$ = $\frac{BE}{2}$ 

<=> BD = BE

+ Xét tam giác BDE có BD = BE => Tam giác BDE cân tại B.