Giải câu 3 trang 117 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, BI và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O) => IB = IA  (1)

AI và CI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O') => IA = IC  (2)

Từ (1) và (2) => IB = IC hay I là trung điểm của BC.

b, Xét tam giác ABC có :

• AI là trung tuyến ứng với cạnh BC
• AI = IB = $\frac{BC}{2}$ 

=> Tam giác ABC vuông tại A (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)

c, BI và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O) => $\widehat{BIO}=\widehat{AIO}$

AI và CI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O') => $\widehat{CIO'}=\widehat{AIO'}$

+ Ta có: $\widehat{BIO}+\widehat{AIO}+\widehat{CIO'}+\widehat{AIO'}=180^{0}$

=> 2.$\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=180^{0}$

<=> $\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=90^{0}$

hay $\widehat{OIO'}=90^{0}$

+ Xét tam giác OIO' vuông tại I có IA là đường cao => IA$^{2}$ = OA.O'A = R.r

=> IA = $\sqrt{R.r}$

Mà BC = 2IA => BC = $2\sqrt{R.r}$

d, BC là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O')

=> OB $\perp $ CB và O'C $\perp $ CB

=> OB // O'C

+) Xét tam giác ACO' và tam giác ADO có:

$\frac{O'C}{OD}=\frac{AO'}{AO}=\frac{r}{R}$

=> O'C // OD (Định lí ta - lét đảo)

+ OB // O'C và O'C // OD => Ba điểm B, O, D thẳng hàng.

e, Chứng minh tương tự phần d ta có ba điểm C, O', E thẳng hàng

mà OB // O'C => BD // CE

f, Ta có CE // BD  => BC cắt DE tại một điểm

• O' là trung điểm của CE 
• O là trung điểm của BD 

=> OO' đi qua giao điểm của BC và  DE

Hay ba đường thẳng BC, DE là OO' đồng quy

g, IA = $\sqrt{R.r}$  = $\sqrt{9.7}$ = $\sqrt{63}$

Ta có: IB = IAvà OB = OA => OI là đường trung trực AB

          IC = IA và O'C = O'A => O'I là đường trung trực của AC

+ Xét tam giác vuông OIA có tanIOA = $\frac{IA}{AO}$ = $\frac{\sqrt{63}}{9}$ => $\widehat{IOA}=41^{0}$

+ Xét tam giác vuông O'IA có tanIO'A = $\frac{IA}{AO'}$ = $\frac{\sqrt{63}}{7}$ => $\widehat{IO'A}=49^{0}$

+ AB = 2.OA.sinIOA = 2.9.sin$41^{0}$ = 12 (cm)

+ AC = 2.O'A.sinIO'A = 2.7.sin$49^{0}$ = 10,5 (cm)