Giải câu 2 trang 89 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, AI là phân giác trong của góc A => $\widehat{BAI}=\widehat{IAC}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$

AD là phân giác ngoài của góc A => $\widehat{DAB}=\frac{90^{0}}{2}=45^{0}$

+ $\widehat{DAI}=\widehat{DAB}+\widehat{BAI}=90^{0}$ => Tam giác DAI vuông ở A

+ Ta có: S_ABC = S_AIC + S_AIB

=> $\frac{1}{2}$AB.AC = $\frac{1}{2}$.AI.AC.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$

<=> AB.AC = AI.sin$45^{0}$.(AC + AB)

<=> AI = $\frac{\sqrt{2}.AB.AC}{AB+AC}$

<=>  $\frac{\sqrt{2}}{AI}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

<=> $\frac{1}{AI}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$ (1)

+ S_ADI = S_AIB + S_ABD

=> $\frac{1}{2}$AD.AI = $\frac{1}{2}$.AI.AB.sin$45^{0}$ + $\frac{1}{2}$.AD.AB.sin$45^{0}$

<=> AD.AI = AI.AB.sin$45^{0}$ + AB. AD.sin$45^{0}$

<=> AD.AI = AB.sin$45^{0}$.(AI + AD)

<=> AB.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{AD.AI}{AI+AD}$

<=> $\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{AI} $ (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

$\frac{\sqrt{2}}{AB}=\frac{1}{AD}+\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$ 

<=> $\frac{1}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{AB}-\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC} \right )$ 

<=>  $\frac{1}{AD}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\left ( \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right )$

<=> $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC}$

+) Tương tự  AD là phân giác ngoài phía còn lại của góc BAC hay C nằm giữa B và D thì $\frac{\sqrt{2}}{AD}= \frac{1}{AC}-\frac{1}{AB}$

=> $\left | \frac{1}{AB}-\frac{1}{AC} \right |=\frac{\sqrt{2}}{AD}$ 

=> Đpcm

b, J là điểm cố định thuộc tia phân giác của góc A => Chứng minh tương tự phần (1)a

=>  $\frac{\sqrt{2}}{AJ}= \frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$

Vì J là cố định => AJ không đổi => $\frac{\sqrt{2}}{AJ}$ không đổi

=> $\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}$ không đổi khi P, Q thay đổi.

c,