Giải câu 1 trang 88 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, BC = $\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=\sqrt{12^{2}+10^{2}}=\sqrt{244}$

AB.AC = AH.BC => AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = 7,68 cm

AB$^{2}$ = BC.BH => BH = $\frac{AB^{2}}{BC}$ = 6,4 cm

tanB = $\frac{AC}{AB}$ = 1,2 => $\widehat{B}=50^{0}11'$

tan$\widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}$ = 0,83 => $\widehat{BAH}=39^{0}48'$

b, i. cosC.sinB = $\frac{HC}{AC}$.$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{HC}{BC}$

sinC.cosB = $\frac{AB}{BC}$.$\frac{BH}{AB}$ = $\frac{BH}{BC}$

ii. BC = BH + HC = AB.cosB + AC.cosC

iii. tanB.sinB = $\frac{AH}{BH}$.$\frac{AH}{AB}$ = $\frac{AH^{2}}{AB.BH}$ = $\frac{HB.HC}{AB.HB}$ = $\frac{HC}{AB}$

iv. AH = AB.sinB = AC.sinC

S_ABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH = $\frac{1}{2}$.BC.AB.sinB = $\frac{1}{2}$.BC.AC.sinC.

v. BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$

AB + AC $\leq \sqrt{2}$.BC <=> (AB + AC)$^{2}$ $\leq $ 2BC$^{2}$

<=> AB$^{2}$ + AC$^{2}$ + 2AB.AC $\leq $ 2(AB$^{2}$ + AC$^{2}$)

<=> AB$^{2}$ + AC$^{2}$ - 2.AB.AC $\geq $ 0

<=> (AB - AC)$^{2}$ $\geq $ 0 (luôn đúng)

=> đpcm

vi. Kẻ CI là phân giác của góc C và I thuộc AH => $\widehat{ACI}=\widehat{HCI}=\frac{\widehat{AHC}}{2}$

+ Ta có: S_AHC = $\frac{1}{2}$.AH.HC

S_ACI = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$ 

S_HCI = $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$

Mà S_AHC = S_ACI + S_HCI 

=>  $\frac{1}{2}$.AH.HC = $\frac{1}{2}$.AC.CI.sin$\widehat{ACI}$ + $\frac{1}{2}$.HC.CI.sin$\widehat{HCI}$

<=> AH.HC = CI.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

Mặt khác CI = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$

=> AH.HC = $\frac{HC}{cos\widehat{HCI}}$.sin$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

<=> AH = tan$\widehat{HCI}$.(AC + HC)

<=> tan$\widehat{HCI}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$

<=> tan$\frac{\widehat{AHC}}{2}$ = $\frac{AH}{AC+HC}$ (đpcm)

c, 

i. Xét tứ giác AEFH có: AE // HF (cùng vuông góc AC); AF //HE (cùng vuông góc với AB)

=> AEFH là hình bình hành

Hình bình hành AEFH có $\widehat{A}=90^{0}$ => AEFH là hình chữ nhật 

=> AH = EF

ii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH$^{2}$ = AF.AC

Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao => AH$^{2}$ = BH.HC

=> AH$^{2}$ = AF.AC = BH.HC

Mà EF = AH => EF$^{2}$ = AH$^{2}$ = AF.AC = BH.HC

iii. Xét tam giác vuông AHC có HF là đường cao => AH$^{2}$ = AF.AC

Xét tam giác vuông AHB có HE là đường cao => AH$^{2}$ = AE.AB

=> AF.AC = AE.AB => $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

Xét tam giác AEF và tam giác ACB có :

• góc A chung
• $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$

=> $\Delta AEF\sim \Delta ACB$

=> $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$; $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$.

iv. Tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến => AO = $\frac{1}{2}$BC = OB = OC

+ Tam giác OAB có: OA = OB => Tam giác OAB cân tại O

=> $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)

+ AEFH là hình chữ nhật => AH = EF.

+ Gọi I là giao điểm của AH và EF => IA = IH = IE = IF

+ Tam giác EIA có IA = IE => Tam giác EIA cân tại I 

=>  $\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ (2)

Mà $\widehat{OBA}+\widehat{IAE}=90^{0}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) => $\widehat{IEA}+\widehat{IAE}=90^{0}$ hay AI $\perp $ EF

v. Ta có: $\widehat{TEH}+\widehat{HEF}=90^{0}$

              $\widehat{THE}+\widehat{EHA}=90^{0}$

Mà $\widehat{HEF}=\widehat{EHA}$ (vì AEFH là hình chữ nhật )

=>  $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$

=> Tam giác ETH cân tại T => ET = TH (1)

Ta có: $\widehat{EBT}+\widehat{THE}=90^{0}$ (tam giác HEB vuông tại E)

          $\widehat{BET}+\widehat{TEH}=90^{0}$ 

Mà $\widehat{TEH}=\widehat{THE}$ (chứng minh ở trên)

=> $\widehat{EBT}=\widehat{EBT}$

=> Tam giác TEB cân tại T => ET = TB (1)

Từ (1) và (2) => TH = TB = $\frac{1}{2}$HB

Chứng minh tương tự ta có: SH = SC = $\frac{1}{2}$HC

vi. EFST là hình thanh vuông (vì ET $\perp $ EF và FS $\perp $ EF)

S_EFST = $\frac{(TE+FS).EF}{2}$ = $\frac{(\frac{1}{2}HB+\frac{1}{2}HC).EF}{2}$ = $\frac{\frac{1}{2}(HB+HC).EF}{2}$ = $\frac{1}{4}$.BC.EF = $\frac{1}{4}$.BC.AH

S_ABC = $\frac{1}{2}$.BC.AH

=> S_EFST = $\frac{1}{2}$S_ABC

vii. 

+ AH$^{2}$ = HB.HC (*)

+ Xét tam giác ABK vuông tại B và BH là đường cao

=> BH$^{2}$ = AH.HK (3)

+ Xét tam giác ACG vuông tại  C có CH là đường cao:

=> CH$^{2}$ = AH.HG (4)

=> Nhân vế với vế của (3) và (4) ta có:

BH$^{2}$.CH$^{2}$ = AH.HK.AH.HG = AH$^{2}$.HK.HG

<=> BH$^{2}$.CH$^{2}$ = BH.CH.HK.HG (AH$^{2}$ = HB.HC)

<=> BH.CH = HK.HG (**)

Từ (*) và (**) =>  AH$^{2}$ = HB.HC = HK.HG

+ Xét tam giác AHB vuông tại H có HE là đường cao => BH$^{2}$ = BE.AB (5)

Từ (3) và (5) => BH$^{2}$ = BE.AB = AH.HK