Giải Bài tập 5.26 trang 124 sgk Toán 11 tập 1 Kết nối

a) Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{n^{2}}{n^{2}(3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}})}=\frac{1}{3}$

b) $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=\frac{3^{0}+5^{0}}{6^{0}}+\frac{3^{1}+5^{1}}{6^{1}}+\frac{3^{2}+5^{2}}{6^{2}}+...+\frac{3^{n}+5^{n}}{6^{n}}$

$=(\frac{3^{0}}{6^{0}}+\frac{5^{0}}{6^{0}})+(\frac{3^{1}}{6^{1}}+\frac{5^{1}}{6^{1}})+(\frac{3^{2}}{6^{2}}+\frac{5^{2}}{6^{2}})+...+(\frac{3^{n}}{6^{n}}+\frac{5^{n}}{6^{n}})$

$=((\frac{1}{2})^{0}+(\frac{5}{6})^{0})+((\frac{1}{2})^{1}+(\frac{5}{6})^{1})+((\frac{1}{2})^{2}+(\frac{5}{6})^{2})+...+((\frac{1}{2})^{n}+(\frac{5}{6})^{n})$

$=[(\frac{1}{2})^{0}+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}]+[(\frac{5}{6})^{0}+(\frac{5}{6})^{1}+(\frac{5}{6})^{2}+...+(\frac{5}{6})^{n}]$

Vì $(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là $(\frac{1}{2})^{1}=\frac{1}{2}$ và công bội là $\frac{1}{2}$ nên

$(\frac{1}{2})^{0}+(\frac{1}{2})^{1}+(\frac{1}{2})^{2}+...+(\frac{1}{2})^{n}=(\frac{1}{2})^{0}+\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}$

$=1+(1-(\frac{1}{2})^{n})=2-(\frac{1}{2})^{n}$

Tương tự, ta tính được: 

$(\frac{5}{6})^{0}+(\frac{5}{6})^{1}+(\frac{5}{6})^{2}+...+(\frac{5}{6})^{n}=(\frac{5}{6})^{0}+\frac{\frac{5}{6}(1-(\frac{5}{6})^{n})}{1-\frac{5}{6}}$

$=1+5(1-(\frac{5}{6})^{n})=6-5.(\frac{5}{6})^{n}$

Do đó, $v_{n}=\sum_{k=0}^n{\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}}=[2-(\frac{1}{2})^{n}]+[6-5.(\frac{5}{6})^{n}]=8-(\frac{1}{2})^{n}-5.(\frac{5}{6})^{n}$

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}v_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[8-(\frac{1}{2})^{n}-5.(\frac{5}{6})^{n}]=8$

c) Ta có: $|w_{n}|=|\frac{sinn}{4n}|\leq \frac{1}{4n}<\frac{1}{n}$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1}{n}=0$

Do đó, $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}w_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}\frac{sinn}{4n}=0$