Giải Bài tập 5.18 trang 123 sgk Toán 11 tập 1 Kết nối

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{n^{2}(1+\frac{1}{n^{n}})}-\sqrt{n})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\sqrt{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]$

Vì $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}n=+\infty$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=1>0$

Do đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[n(\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{n}})]=+\infty$

Vạy $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty$

Đáp án: C