1. CÔNG THỨC CỘNG

HĐ1

a) Với a = $\frac{\pi }{6}$ ta có sina = sin$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{2}$; 

cosa = cos$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Với b = $\frac{\pi }{3}$ ta có sinb = sin$\frac{\pi }{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cosb = cos$\frac{\pi }{3}$ = $\frac{1}{2}$ 

Ta có sin(a + b) = sin($\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}$) = sin$\frac{\pi }{2}$ = 1

sinacosb + cosasinb = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$ = 1

Do đó sin(a + b) = sinacosb + cosasinb (vì cùng bằng 1).

b) Ta có: sin(a - b) = sin[a + (-b)]

= sinacos(-b) + cosasin(-b)  

= sinacosb + cosa(-sin b ) 

= sinacosb - cosasinb  

Công thức cộng

• sin(a + b) = sinasinb + cosasinb
• sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

Ví dụ 1: (SGk – tr.16)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.16).

Luyện tập 1

Áp dụng công thức cộng ta có:

$sin\frac{\pi }{12}=sin\left ( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} \right )$

$=sin\frac{\pi }{3}cos\frac{\pi }{4}-cos\frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

HĐ2

a) Ta có: cos(a + b) = sin($\frac{\pi }{2}$ - (a + b))

= sin(($\frac{1}{2}$ - a) - b)

= sin($\frac{1}{2}$ - a).cos b - cos($\frac{1}{2}$ - a).sin b  

=cos a .cos b - sin a .sin b  

Vậy cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b .

b) Ta có: cos (a - b) = cos[a + (-b)]

= cos a cos (-b) - sin a sin (-b)  

= cos a cos b - sin a (-sin b ) 

= cos a cos b + sin a sin b  

Vậy cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b .

Công thức

• cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
• cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

Ví dụ 2: (SGK – tr.17).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17).

Luyện tập 2

Ta có: $cos15^{\circ} = cos\left ( 45^{\circ} - 30^{\circ} \right ) = cos45^{\circ}cos30^{\circ} + sin45^{\circ}sin30^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

HĐ3

a) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

$tan(a+b)=\frac{sin(a+b)}{cos(a+b)}$

$=\frac{sinacosb+cosasinb}{cosacosb-sinasinb}=\frac{\frac{sinacosb+cosasinb}{cosacosb}}{\frac{cosacosb-sinasinb}{cosacosb}}$

$=\frac{\frac{sina}{cosa}+\frac{sinb}{cosb}}{1-\frac{sina}{cosa}.\frac{sinb}{cosb}}=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$

Vậy $tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

tan (a - b) = tan [a + (-b)]   

$=\frac{tana+tan(-b)}{1-tanatan(-b)}=\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Vậy tan (a - b) = tan (a - b) = $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Công thức

• tan (a + b) = $\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$
• tan (a - b) = $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

(Khi các biểu thức đều có nghĩa)

Ví dụ 3: (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17).

Luyện tập 3

Ta có: $tan165^{\circ} = tan\left ( 135^{\circ} + 30^{\circ}\right ) = \frac{tan135^{\circ} + tan30^{\circ}}{1-tan135^{\circ}tan30^{\circ}} = -2  + \sqrt{3}$. 

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

HĐ4

Ta có: sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos a  

cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a - sin a sin a = $cos^{2}a-sin^{2}a$

Khi các biểu thức đều có nghĩa thì:

$tan2a=tan(a+a)=\frac{tana+tana}{1-tana.tana}=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$

Công thức

• sin 2a = 2sin a cos a
• cos 2a = $cos^{2}a-sin^{2}a$
• tan 2a = $\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$

Nhận xét

• $cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a=2cos^{2}a-1=1-2sin^{2}a$
• $cos^{2}a=\frac{1+cos2a}{2};sin^{2}a=\frac{1-cos2a}{2}$ (công thức hạ bậc).

Ví dụ 4: (SGK – tr.18).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Luyện tập 4

Ta có: $tan^{2}\frac{a}{2} = 4 $

Áp dụng công thức: $1 + tan^{2}a = \frac{1}{cos^{2}a}$ ($a \neq \frac{\pi }{2} + k\pi , k \in \mathbb{Z})$ 

Ta có: $\frac{1}{cos^{2}\frac{a}{2}} - 1 = 4 \Leftrightarrow \frac{2}{1+ cosa} = 5 \Leftrightarrow cosa = -\frac{3}{5} \Leftrightarrow cos^{2}a = \frac{9}{25}$ 

Suy ra: $tan^{2}a = \frac{16}{9} \Leftrightarrow tana = \pm \frac{4}{3}$. 

Ví dụ 5: (SGK – tr.18).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.18).

Luyện tập 5

Ta có:

• $sin^{2}\frac{\pi }{8} = \frac{1-cos\frac{\pi }{4}}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow sin\frac{\pi }{8} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
• $cos^{2}\frac{\pi }{8} = \frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow cos\frac{\pi }{8} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

HĐ5.

Ta có: cos (a+b) + cos (a-b)

= (cos a cos b -sin a sin b) + (cos a cos b +sin a sin b) 

= (cos a cos b -sin a sin b) + (cos a cos b +sin a sin b)

= 2cos a cos b  

cos (a+b) - cos (a-b)

= (cos a cos b - sin a sin b) - (cos a cos b +sin a sin b) 

= cos a cos b - sin a sin b - cos a cos b - sin a sin b  

= -2sin a.sin b  

sin (a+b) + sin (a-b)

= (sin a cos b + cos a sin b) + (sin a cos b - cos a sin b) 

= sin a cos b + cos a sin b + sin a cos b - cos a sin b  

= 2sin a cos b  

Vậy

• cos (a+b) + cos (a-b) = 2cos a cos b
• cos (a+b) - cos (a-b) = -2sin a sin b  
• sin (a+b) + sin (a-b) = 2sin a cos b  

Công thức biến đổi tích thành tổng

• cos a cos b = $\frac{1}{2}$[cos (a+b) + cos (a-b)]
• sin a sin b = -$\frac{1}{2}$[cos (a+b) - cos (a-b)] 
• sin a cos b =$\frac{1}{2}$[sin (a+b) + sin (a-b)] 

Ví dụ 6: (SGK – tr.19).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.19).

Luyện tập 6

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$cos\frac{3a}{2}cos\frac{a}{2}=\frac{1}{2}[cos\left ( \frac{3a}{2}+\frac{a}{2} \right )+cos\left ( \frac{3a}{2}-\frac{a}{2} \right )]$

$=\frac{1}{2}\left [ cos2a+cosa \right ]$

Mà: $cos2a = 2cos^{2}a-1=2.\left (\frac{2}{3}  \right )^{2}-1=-\frac{1}{9}$

=> $cos\frac{3a}{2}cos\frac{a}{2} = \frac{5}{18}$. 

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

HĐ6.

Ta có: a + b = u; a - b = v

=> $a=\frac{u+v}{2};b=\frac{u-v}{2}$

Khi đó

• cos u +cos v = cos (a+b) + cos (a-b) = 2cos a cos b = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$
• cos u - cos v = cos (a+b) - cos (a-b) = -2sin a sin b = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$
• sin u + sin v = sin (a+b) + sin (a-b) = 2sin a cos b = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$
• sin u - sin v = sin (a+b) - sin (a-b) = 2sin b cos a = 2cos a sin b  = 2cos$\frac{u+v}{2}$ sin$\frac{u-v}{2}$

Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos u +cos v = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$
• cos u - cos v = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$
• sin u + sin v = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$
• sin u - sin v = 2cos$\frac{u+v}{2}$ sin$\frac{u-v}{2}$

Ví dụ 7: (SGK – tr.19).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.19, 20).

Luyện tập 7

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

$D = \frac{sin\frac{7\pi }{9}+sin\frac{\pi }{9}}{cos\frac{7\pi }{9}-cos\frac{\pi }{9}} = \frac{2sin\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}cos\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}}{-2sin\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}sin\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}} = -cot\frac{\pi }{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 8: (SGK – tr.20).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.20).