BÀI 13: BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 

1. Bội chung

Bài 1: 

a) Bài toán “Đèn nhấp nháy”

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 giây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng không đáng kể. 

Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ giây đầu tiên.

b) Viết các tập B(2), B(3). Chỉ ra ba phần tử chung của hai tập hợp này.

Giải nhanh:

a) 12 giây 

b) B(2) = {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26;…}

B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39…}

Như vậy: Hai tập hợp này có một số phần tử chung như: 6; 12; 18;…

Bài 2: Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) 20 ∈ BC(4, 10);

b) 36 ∈ BC(14, 18);

c) 72 ∈ BC(12, 18, 36).

Giải nhanh:

a) Đúng

Vì: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…} và B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50;…}

Nên 20 ∈ BC(4, 10)

b) Sai

Vì: B(14) = {0; 14; 28; 42; 56;…} và B(18) = {0; 18; 36; 54;…} 

Nên 36 ∉ BC(14, 18)

c) Đúng

Vì: B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84;…} và B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; 90;…} và B(36) = {0; 36; 72; 108;…}

Nên 72 ∈ BC(12, 18, 36)

Bài 3: Hãy viết:

a) Các tập hợp: B(3); B(4); B(8).

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3; 4 và 8.

Giải nhanh:

a) B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 48; 51…}

    B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 38; 32; 36; 40; 44; 48; 52…}

    B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80;…}

b) M = {0; 12; 24; 36; 48}

c) K = {0; 24; 48}

2. Bội chung nhỏ nhất

Bài 1:

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8). Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(3, 4, 8). Hãy nhận xét về mối quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3, 4 và 8.

Giải nhanh:

- Ta có: B(6) = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48…}

             B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}

=> BC(6, 8) = {0; 24; 48…}

BCNN(6, 8) là 24

* Nhận xét: Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của hai số 6, 8 là bội chung nhỏ nhất của 6, 8.

- Ta có: B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27; 30; 33; 36; 39…}

             B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 38; 32; 36; 40; 44; 48; 52…}

             B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48;…}

=> BC(3, 4, 8) = {0; 24; 48;…}

BCNN (2, 4, 8) là 24.

* Nhận xét: Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của ba số 2, 4, 8 là bội chung nhỏ nhất của 2, 4, 8.

Bài 2: Viết tập hợp BC(4, 7), từ đó chỉ ra BCNN(4, 7). Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Giải nhanh:

• B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32;…}

• B(7) = {0; 7; 14; 21; 28; 35;…}

=> BCNN(4, 7) = 28 = 4 . 7 

=> Hai số 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bài 1: Tìm BCNN(24, 30); BCNN(3, 7, 8); BCNN(12, 16, 48).

Giải nhanh:

- Ta có: 24 = 2³ .3

         30 = 2 . 3 . 5 

=> BCNN(24, 30) = 2³ . 3 . 5 = 120

- Ta có: 3, 7, 8 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(3, 7, 8) = 3 . 7 . 8 = 168

- Ta có: 48 là bội của 12 và 16

=> BCNN(12, 16, 48) = 48

Bài 2: Tìm BCNN(2, 5, 9); BCNN(10, 15, 30)

Giải nhanh:

- 2, 5, 9 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau.

=> BCNN(2, 5, 9) = 2 . 5 . 9 = 90

- 30 là bội của 10 và 15 

=> BCNN(10, 15, 30) = 30

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Bài 1:

1) Quy đồng mẫu các phân số sau:

2) Thực hiện các phép tính sau: 

Giải nhanh:

1) 

a) 

b) 

2) 

a) +  

= +  

=

b)  -

= -  

=

=

5. Bài tập

Bài 1: Tìm ra:

a) BC(6, 14);                     b) BC(6, 20, 30);                           c) BCNN(1, 6);

d) BCNN(10, 1, 12);                   e) BCNN(5, 14).

Giải nhanh:

a) BC(6, 14) = {0; 42; 84; 126;…}.

b) BC(6, 20, 30) = {0; 60; 120; 180; 240;…}.

c) BCNN(1, 6) = 6.

d) BCNN(10, 1, 12) = 2² . 3 . 5 = 60

e) BCNN(5, 14) = 5 . 14 = 70

Bài 2:

a) Ta có BCNN(12, 16) = 48. Hãy viết tập hợp A các bội của 48. Nhận xét về tập hợp BC(12, 16) và tập hợp A.

b) Để tìm tập hợp bội chung của hai số tự nhiên a và b, ta có thể tìm tập hợp các bội của BCNN(a, b). Hãy vận dụng để tìm tập hợp các bội chung của:

i.24 và 30;                ii. 42 và 60;                  iii. 60 và 150;                  iv.28 và 35.

Giải nhanh:

a) A = {0; 48; 96; 144; 192;…}

=> Tập hợp BC(12, 16) chính là tập hợp A.

b)

i. Ta có: 24 = 2³ . 3 và 36 = 2² . 3²

=> BCNN(24, 36) = 2³ . 3² = 72

=> BC(24, 36) = B(72) = {0; 72; 144; 216;…}.

ii. Ta có: 42 = 2 . 3 . 7 và 60 = 2² . 3 . 5

=> BCNN(42, 60) = 420

=> BC(42, 60) = B(420) = {0; 420; 840; 1260;…}.

iii. Ta có: 60 = 2² . 3 . 5 và 150 = 2 . 3 . 5²

=> BCNN(60, 150) = 2² . 3 . 5² = 300

=> BC(60, 150) = B(300) = {0; 300; 600; 900; 1200;…}.

iv. Ta có: 28 = 2² . 7 và 35 = 5 . 7

=> BCNN(28, 35) = 2² . 5 . 7 = 140

=> BC(28, 35) = B(140) = {0; 140; 280; 420; 560;…}

Bài 3: Quy đồng mẫu số các phân số sau (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

a) và ;                               b) , và .

Giải nhanh:

a) = và = .

b) 

Bài 4: Thực hiện các phép tính (có sử dụng bội chung nhỏ nhất):

Giải nhanh:

a)   +  

= +  

=

b)   + + = + + =

c)   - = - = =

d)   - = - =

Bài 5: Chị Hòa có một số bông sen. Nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì đều vừa hết. Hỏi chị Hoa có bao nhiêu bông sen? Biết rằng chị Hòa có khoảng từ 200 đến 300 bông.

Giải nhanh:

Gọi x là số bông sen chị Hòa có.

Nếu chị bó thành các bó bông gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông thì số bông sen chị Hòa có là bội chung của 3, 5 và 7.

Theo đề bài ta có: x ∈ BC(3, 5, 7) và 200 ≤ x ≤ 300 

Vì 3, 5, 7 từng đôi một là số nguyên tố cùng nhau 

=> BCNN(3, 5, 7) = 105 

=> BC(3, 5, 7) = B(105) = {0; 105; 210; 315;…}

=> x ∈ BC(3, 5, 7) ={0; 105; 210; 315;…}

Mà 200 ≤ x ≤ 300  Nên x = 210.

Như vậy Số bông sen chị Hòa có là 210 bông.