Slide bài giảng Toán 9 Chân trời bài 3: Định lí Viète

Tóm lược nội dung

BÀI 3. ĐỊNH LÍ VIÈTE

KHỞI ĐỘNG

Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m². Làm thế nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?

Giải rút gọn:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Vì khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên ta có a + b = 60.

Vì khu vườn có diện tích là 884 m² nên ta có ab = 884.

Vậy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 26 m.

1. ĐỊNH LÍ VIÈTE

Giải rút gọn hoạt động 1 trang 18 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình ax² + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x₁, x₂.

Tính x₁ + x₂ và x₁.x₂.

Giải rút gọn:

x₁ + x₂ =

x₁.x₂ =

Giải rút gọn thực hành 1 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) x² – 2 + 7 = 0;         b) 15x² – 2x – 7 = 0;                  c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Giải rút gọn:

a) x² – 2 + 7 = 0

Ta có = (–)² – 1.7 = 0

Phương trình có nghiệm kép. Theo định lý Viète ta có

x₁ + x₂ = = 2.

x₁.x₂ = = 7.

b) 15x² – 2x – 7 = 0

Ta có = (–1)² – 15.(–7) = 106 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = .

x₁.x₂ = = .

c) 35x² – 12x + 2 = 0.

Ta có = (–6)² – 35.2 = –34 < 0

Phương trình có vô nghiệm

Giải rút gọn thực hành 2 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình x² + 4x – 21 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) ;                                            b) .

Giải rút gọn:

Ta có = 2² – 1.(–21) = 25 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = –4.

x₁.x₂ = = –21.

a)

b)  

= 16 + 63 = 79.

Giải rút gọn thực hành 3 trang 19 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) –315x² – 27x + 342 = 0;                            b) 2022x² + 2023x + 1 = 0.

Giải rút gọn:

a) Có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

b) Có a – b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

2. TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Giải rút gọn hoạt động 2 trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.

a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay uv =15, ta nhận được phương trình ẩn v nào?

b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?

Giải rút gọn:

a) Ta có u + v = 8 u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được:

(8 – v).v = 15

b) Nếu biểu diễn v theo u ta thu được phương trình ẩn u là (8 – u).u = 15.

Giải rút gọn thực hành 4 trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.

b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?

Giải rút gọn:

a) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình

x² – 15x + 44 = 0

x² – 4x – 11x + 44 = 0

x(x – 4) – 11(x – 4) = 0

(x – 11)(x – 4) = 0

x = 4 hoặc x = 11

b) Ta có: S = a + b = 7; P = a.b =13.

Vì S² – 4P = 7² – 4.13 = –3 < 0.

Vậy không tồn tại hai số a và b có tổng là 7 và tích là 13.

Giải rút gọn vận dụng trang 20 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn trong khởi động (trang 18).

Giải rút gọn:

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 60)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 60)

Vì khu vườn có nửa chu vi là 60 m nên ta có a + b = 60.

Vì khu vườn có diện tích là 884 m² nên ta có ab = 884.

Vậy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 60x + 884 = 0

x = 26 (thoả mãn) hoặc x = 34 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 26 m.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải rút gọn bài 1 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) trong mỗi phương trình:

a) 3x² – 9x + 5 = 0;                    b) 25x² – 20x + 4 = 0;

c) 5x² – 9x + 15 = 0;                  d) 5x² – 2x – 3 = 0.

Giải rút gọn:

a) 3x² – 9x + 5 = 0

Ta có = (–9) ² – 4.3.5 = 21 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 3.

x₁.x₂ = .

b) 25x² – 20x + 4 = 0

Ta có = (–10) ² – 4.25 = 0

Phương trình có nghiệm kép. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

c) 5x² – 9x + 15 = 0

Ta có = (–9) ² – 4.5.15 = –219 < 0

Phương trình vô nghiệm.

d) 5x² – 2x – 3 = 0

Ta có = (–) ² – (–3).5 = 24 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = .

x₁.x₂ = .

Giải rút gọn bài 2 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x² – 19x – 5 = 0;                b) 2,5x² + 7,2x + 4,7 = 0;

c) x² + 5x + = 0;                   d) 2x² – (2 +)x + = 0.

Giải rút gọn:

a) Có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

b) Có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là = 1,88.

c) Có a – b + c = – 5 + = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

d) Có a + b + c = 2 – (2 +) + = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

Giải rút gọn bài 3 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 29, uv = 154;   b) u + v = – 6, uv = – 135;         c) u + v = 5, uv = 24.

Giải rút gọn:

a) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 29x + 154 = 0

x² – 7x – 22x + 154 = 0

(x – 22)(x – 7) = 0

x = 22 hoặc x = 7

Vậy u = 22; v = 7 hoặc u = 7; v = 22.

b) u và v là nghiệm của phương trình

x² + 6x – 135 = 0

x² – 9x + 15x + 135 = 0

(x + 15)(x – 9) = 0

x = –15 hoặc x = 9

Vậy u = –15; v = 9 hoặc u = 9; v = –15.

c) u và v là nghiệm của phương trình

x² – 5x + 24 = 0

= (–5)² – 4.1.24 = –71 < 0

Phương trình vô nghiệm.

Vậy không tìm được u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

Giải rút gọn bài 4 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho phương trình x² – 19x – 5 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) A = ;            b) B = ;                 c) C =

Giải rút gọn:

Ta có = (–19)² – 4.1.(–5) = 381 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viète ta có:

x₁ + x₂ = = 19.

x₁.x₂ = = –5.

a) A =

= 19² – 2.(–5) = 371.

b) B =

c) C =

Giải rút gọn bài 5 trang 21 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m². Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Giải rút gọn:

Nửa chu vi khu vườn là: 116 : 2 = 58 (m).

Gọi chiều dài khu vườn là a (0 < a < 58; m)

Gọi chiều rộng khu vườn là b (0 < b < a < 58; m)

Theo đề bài: a + b = 58 (1); ab = 805 (2).

Từ (1) và (2) ta thấy a và b là nghiệm của phương trình

x² – 58x + 805 = 0

x = 23 (thoả mãn) hoặc x = 35 (thỏa mãn).

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m.

Vậy chiều rộng khu vườn là 23 m.