Slide bài giảng Toán 9 Chân trời bài 2: Tứ giác nội tiếp

Tóm lược nội dung

BÀI 2. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

KHỞI ĐỘNG

Quan sát hai hình tứ giác ABCD và A’B’C’D’, hãy nêu nhận xét sự khác biệt về vị trí các đỉnh của mỗi hình đối với đường tròn trong hình đó.

Giải rút gọn:

- Hình a cả bốn điểm A, B, C, D đều nằm trên đường tròn (O).

- Hình b có ba điểm A’, B’, C’  nằm trên đường tròn (O’); điểm D’ nằm ngoài đường tròn.

1. ĐỊNH NGHĨA TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Giải rút gọn hoạt động 1 trang 70 sgk toán 9 tập 2 ctst

Các tứ giác trong Hình 1 có đặc điểm gì giống nhau?

Giải rút gọn:

Đều có các đỉnh nằm trên đường tròn.

Giải rút gọn thực hành 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Vẽ một tứ giác nội tiếp hình tròn và một tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn, tứ giác MNPQ là tứ giác không nội tiếp đường tròn.

Giải rút gọn vận dụng 1 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Có nhận xét gì về tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3.

Giải rút gọn:

Tứ giác trong hình hoa văn trang trí mặt lưng của chiếc ghế với đường tròn trong Hình 3 là tứ giác có các đỉnh đều nằm trên đường tròn.

2. TÍNH CHẤT

Giải rút gọn hoạt động 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).

a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp DAB và DCB.

b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.

c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc DAB và DCB.

d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?

Giải rút gọn:

a) - Góc DAB là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

- Góc DCB là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

b) - Góc DAB là góc nội tiếp chắn cung BD nhỏ.

 DAB=12 số đo cung BD nhỏ.

- Góc DCB là góc nội tiếp chắn cung BD lớn.

 DCB=12 số đo cung BD lớn.

Ta có DAB+DCB=12 (số đo cung BD nhỏ + số đo cung BD lớn)

= 12.360^o = 180^o.

c) Tổng số đo của hai góc DAB và DCB bằng 180^o.

d) Tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD là 180^o (vì 360^o – 180^o = 180^o).

Giải rút gọn thực hành 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Do đó A+C=180oA =180o-93o=87o.

B+D=180oD =180o-57o=123o.

Giải rút gọn vận dụng 2 trang 71 sgk toán 9 tập 2 ctst

Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết ABC= 70^o, ODC= 50^o. Tìm góc AOD.

Giải rút gọn:

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Do đó ABC+ADC=180oADC =180o-70o=110o.

Mà ADO+ODC=ADCADO =110o-50o=60o.

Vì OA = OD = R nên ∆ OAD cân tại O

OAD=ADO =60o (tính chất tam giác cân)

⇒∆ OAD đều AOD =60o.

3. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP HÌNH CHỮ NHẬT, HÌNH VUÔNG

Giải rút gọn hoạt động 3 trang 72 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hình chữ nhật ABCD và hình vuông MNPQ (Hình 8).

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. So sánh độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Nêu nhận xét về tâm và đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ có cạnh bằng a.

Giải rút gọn:

a) - Độ dài các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD là bằng nhau.

- Nhận xét: 

+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo.

+ Đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường chéo của hình chữ nhật.

b) - Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông MNPQ  là I.

R = IM = IN = IP = IQ = a22=a22.

Giải rút gọn thực hành 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông và hình chữ nhật trong Hình 11.

Giải rút gọn:

a) Hình vuông ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm M và bán kính R = a22=522.

b) Hình chữ nhật STUV có O là giao điểm của hai đường chéo. Suy ra đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật STUV có tâm O và bán kính 

R = SU2=ST2 + UT22=(22)2 + 122=92=32

Giải rút gọn vận dụng 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một người muốn thiết kế một bảng hiệu gồm một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R = 3 cm (Hình 12). Tính diện tích hình vuông đó.

Giải rút gọn:

Ta thấy đường tròn ngoại tiếp hình vuông  Độ dài đường chéo hình vuông là đường kính của hình tròn.

Độ dài của đường chéo hình vuông là: d = 2.R = 2.3 = 6 cm.

Độ dài cạnh hình vuông là: a = d22=622=32 cm.

Diện tích hình vuông là: 32.32 = 18 (cm²).

4. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải rút gọn bài 1 trang 73 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.

Giải rút gọn:

Giải rút gọn bài 2 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của tam giác đó. Hãy chỉ ra các tứ giác nội tiếp trong hình

Giải rút gọn:

Các tứ giác nội tiếp là AC’HB’, BC’HA, ACB’H, BCB’C’.

Giải rút gọn bài 3 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD trong mỗi trường hợp sau:

a) AB = 6 cm, BC = 8 cm; b) AC = 9cm.

Giải rút gọn:

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, bán kính R = OA = OB = OC = OD = AC2.

a) Ta có: AC=AB2+BC2 (Định lý Pytagore)

AC=62+82=10 cm.

R=AC2=102=5 cm.

b) R=AC2=92=4,5 cm.

Giải rút gọn bài 4 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Chi hình vuông MNPQ nội tiếp đường tròn bán kính R. Tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông theo R.

Giải rút gọn:

- Vì hình vuông MNPQ nội tiếp  O là giao điểm của MN và NQ

R=OM=OP2 MP = 2R.

- Ta có MN² = OM² + ON² = R² + R² = 2R²

MN=R2.

Giải rút gọn bài 5 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Giải rút gọn:

Vì OB = OC = R ⇒∆ OBC cân tại O mà OI là trung tuyến 

OI đồng thời là đường cao ∆ OBC  OI  BC tai I.

Ta có MIO=90o (chứng minh trên); MAO=90o (giả thiết)

MIO + MAO=180o mà hai góc này ở đối diện nhau.

Tứ giác AMIO là một tứ giác nội tiếp.

Giải rút gọn bài 6 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp;

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Giải rút gọn:

a) Xét đường tròn đường kính MC có:

MDC là góc nội tiếp chắn cung MC MDC=90o hay BDC=90o.

BDC là góc nội tiếp chắn cung BC.

Mà BAC là góc nội tiếp chắn cung BC (BAC=90o)

Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Ta có MNC là góc nội tiếp chắn cung MC mà MC là đường kính.

MNC=90o hay MN  NC (1).

Gọi giao của AB và DC là E.

Xét ∆ EBC có hai đường chéo AC và BD mà AC cắt BD tại M.

M là đường trung trực  ∆ EBC  EM  AC (2).

Từ (1) và (2)  E, M, N  thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Giải rút gọn bài 7 trang 74 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O  thẳng hàng.

Giải rút gọn:

a) Ta có: A1 + NAB=90o; A3 + NAB=90oA1 =A3.

∆ AMB = ∆ ADN (g – c – g).

b) Vì ∆ AMB = ∆ ADN (chứng minh trên)  AM = AN (hai cạnh tương ứng).

⇒∆ AMN cân tại A

Mà AO là đường trung tuyến của tam giác  AO đồng thời là đường cao của tam giác.

MN  OA tại O

AOM=90o hay AOM là góc nội tiếp chắn cung AM.

ABM=90o hay ABM là góc nội tiếp chắn cung AM

Tứ giác AOBM nội tiếp.

Có AON=90o; ADN=90o

AON + ADN=180o mà hai góc này ở đối diện nhau.

Tứ giác ANDO là một tứ giác nội tiếp.

c) Vì tứ giác AOBM nội tiếp (chứng minh trên)

A3 =O1 (hai góc nội tiếp chắn cung MB)

Vì tứ giác ANDO nội tiếp (chứng minh trên)

A1 =O2 (hai góc nội tiếp chắn cung DN)

Mà A1 =A3 (chứng minh trên)  O1 =O2

Ta có O1 + DOM=180oO2 + DOM=180o

DOB=180o hay ba điểm B, D, O  thẳng hàng.