Slide bài giảng Toán 9 Chân trời bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Tóm lược nội dung

BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

KHỞI ĐỘNG

Ba cụm dân cư A, B, C nối với nhau bởi ba con đường AB, BC, CA như trong hình dưới đây. Người ta muốn tìm địa điểm O để xây một trường học và địa điểm I để xây một trạm cứu hộ xe, sao cho O cách đều 3 điểm A, B, C và I cách đều ba con đường. Làm thế nào để xác định hai địa điểm O và I?

Giải rút gọn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, cho chúng cắt nhau từng đôi một. Điểm giao nhau đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc A, B, C, cho chúng cắt nhau từng đôi một và điểm giao nhau đó là điểm I.

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Giải rút gọn hoạt động 1 trang 65 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi O là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC (Hình 1).

a) So sánh độ dài của đoạn thẳng OA, OB và OC.

b) Vẽ đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Giải rút gọn:

a) Vì O thuộc đường trung trực của AB.

OA = OB (tính chất đường trung trực) (1).

Vì O thuộc đường trung trực của BC.

OC = OB (tính chất đường trung trực) (2).

Từ (1) và (2)  OA = OB = OC 

b)

Giải rút gọn thực hành 1 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác sau:

a) Tam giác đều MNP có cạnh bằng 4;

b) Tam giác EFG có EF = 5 cm; EG = 3 cm; FG = 4cm.

Giải rút gọn:

a) Vẽ đường cao MH của ∆ MNP, gọi O là điểm nằm trên MH sao cho OM = 23 MH.

Do ∆ MNP đều nên O vừa là trọng tâm vừa là giao điểm của ba đường trung trực.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP là:

R = OH = a33=433 (cm).

b) Ta có: EF² = EG² + FG² (vì 3² + 4² = 5²)

 ∆ EFG vuông tại G.

Gọi I là trung điểm của cạnh huyền EF. Ta có GI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆ EFG vuông tại G, suy ra IG = IE = IF = EF2 = 2,5 cm

Vậy đường tròn tâm I bán kính 5 cm ngoại tiếp ∆ EFG.

Giải rút gọn vận dụng 1 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Có ba tổ dựng lều ở ba vị trí A, B, C như Hình 6. Ban tổ chức đặt ba thùng có dung tích bằng nhau tại một điểm tập kết chung. Mỗi tổ có sáu người, được phát một chiếc gàu giống nhau, các thành viên trong tổ chia thành từng cặp cõng nhau, múc nước từ tại của mình về đổ vào thùng tại điểm tập kết. Thùng của tổ nào đầy trước thì tổ đó chiến thắng. Để trò chơi công bằng, cần tìm điểm tập kết cách đều ba lều. Hãy xác định điểm đó.

Giải rút gọn:

- Điểm tập kết cách đều 3 lều tức khoảng cách từ điểm tập kết đều mỗi lều là như nhau  Điểm tập kết O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.

Điểm tập kết O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ ABC. Khi vẽ, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực của ∆ ABC là ta có thể xác định được điểm O.

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Giải rút gọn hoạt động 2 trang 67 sgk toán 9 tập 2 ctst

Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC. Vẽ ID, IE, IF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC và AB (Hình 7).

a) Chứng minh rằng IE = IF = ID. 

b) Vẽ đường tròn tâm I bán kính IE. Có nhận xét gì về vị trí của đường tròn này với ba cạnh của tam giác ABC?

Giải rút gọn:

a) ∆ FBI = ∆ DBI (cạnh huyền – góc nhọn).

IF = ID (hai cạnh tương ứng) (1).

∆ IDC = ∆ IEC (cạnh huyền – góc nhọn).

ID = IE (hai cạnh tương ứng) (2).

Từ (1) và (2)  IE = IF = ID.

b) Đường tròn này tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các điểm F, D, E.

Giải rút gọn thực hành 2 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có độ dài cạnh bằng 8 cm.

Giải rút gọn:

Gọi O là giao điểm của đường cao MA, NP và PC của ∆ MNP.

Ta có ∆ MNP đều nên MA, NB, PC  là ba đường trung tuyến đồng thời là ba đường phân giác của tam giác.

Do đó, O là trọng tâm, đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MNP với bán kính r = OA = OB = OC.

r  = a36=836=433 (cm). 

Giải rút gọn vận dụng 2 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Theo gợi ý trong Hình 10, nêu cách xác định hai điểm I và O của tình huống trong khởi động (trang 65).

Giải rút gọn:

- Vẽ 3 đường trung trực của 3 đường thẳng AB, AC và BC, cho chúng cắt nhau từng đôi một. Điểm giao nhau đó là điểm O.

- Vẽ 3 đường phân giác trong của các góc A, B, C, cho chúng cắt nhau từng đôi một và điểm giao nhau đó là điểm I.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH

Giải rút gọn bài 1 trang 68 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6 cm.

a) Nêu các vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Nêu các vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Giải rút gọn:

a) Kẻ ba đường trung trực AH, BK, CE của ∆ ABC, ba đường đó đồng quy tại điểm O  O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, bán kính OA = R.

b) Vì ∆ ABC đều nên các đường trung trực của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác  O cũng là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC, bán kính OH = r.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC là:

R = OA = a33=633=23 (cm).

Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC là:

r = OH = a36=636=3 (cm).

Giải rút gọn bài 2 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải rút gọn:

a) Xét đường tròn (O) có:

ACB là góc nội tiếp chắn cung AB, mà AB là đường kính của đường tròn (O).

 ACB = 90^o  AC  BC tại C, mà OI  AC (giả thiết).

OI  BC (quan hệ từ vuông góc – song song).

b) Vì OB = OC = R  ⇒∆ OBC cân tại O mà OI là đường cao của ∆ OBC.

OI đồng thời là phân giác của ∆ OBC.

COI=BOI hay COM=BOM

∆ COM = ∆ BOM (c – g – c).

OBM=OCM (hai góc tương ứng)

Mà OBM = 90^o (do MB là tiếp tuyến của đường tròn).

OCM = 90^o  hay OM  MC mà C thuộc đường tròn (O)

MC là tiếp tuyến đường tròn (O).

Giải rút gọn bài 3 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Giải rút gọn:

a) - Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC

I là giao điểm của ba đường phân giác ∆ ABC

A1=A2; B1=B2; C1=C2.

∆ ADI = ∆ AFI  (c – g – c).

AD = AF (hai cạnh tương ứng) (1).

- Chứng minh tương tự, ta được:

∆ DBI = ∆ EIB  (c – g – c)  BD = BE (hai cạnh tương ứng) (2).

∆ FCI = ∆ ECI  (c – g – c)  FC = EC (hai cạnh tương ứng) (3).

- Ta có: AB + AC – BC = AD + BD + AF + FC – BE – EC (4).

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC = 2AD (điều phải chứng minh).

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

- 2AF = AB + AC – BC;

- 2BD = 2BE = AB + BC – AC; 

- 2EC = 2FC = AC + BC – AB.

Giải rút gọn bài 4 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Tính diện tích tam giác đều có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 cm.

Giải rút gọn:

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là r = a36.

Mà r = 1 cm a36 = 1⇒a = 63=23 (cm).

Vì tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác  ba đường phân giác cũng đồng thời là ba đường trung trực của tam giác.

Đường cao của tam giác đều là: h=a2-a24=a32=23 .  32=3 (cm).

S =12.a.h=23 .  32=33 (cm²).

Giải rút gọn bài 5 trang 69 sgk toán 9 tập 2 ctst

Một trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh 100 m (Hình 12). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Nêu cách xác định vị trí đặt đèn và tính khoảng cách từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác.

Giải rút gọn:

- Vị trí đặt đèn sẽ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều  Vị trí đặt đèn là giá điểm của ba đường trung trực của tam giác.

- Khoảng cách từ tâm đến đỉnh hay bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là: a33=10033 (cm).