Slide bài giảng Toán 9 Cánh diều bài 1: Đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Tóm lược nội dung

BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Mở đầu: Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn.

Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?

Lời giải rút gọn:

Có điểm chung là có tâm và bánh kính giống nhau.

I. KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 1 trang 93 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài 12 cm. Khi kim phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên đường gì?

Lời giải rút gọn:

Đầu mút của kim phút vạch nên đường tròn.

Luyện tập, vận dụng 1 trang 94 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn.

Lời giải rút gọn:

Cái mâm, cái bát, bánh xe đạp, đồng hồ,...

II. LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 2 trang 94 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Quan sát Hình 5,

a) So sánh MN và OM + ON.

b) So sánh MN và AB.

Lời giải rút gọn:

a) MN < OM + ON

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

b) MN < AB vì AB = OM + ON. 

Luyện tập, vận dụng 3 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh MN < BC.

Lời giải rút gọn:

MN là dây cung của đường tròn. 

Vì trong đường tròn, đường kính là lớn nhất nên 

MN < BC.

III. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 3 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R).

a) Vẽ đường thẳng d đi qua tâm O cắt đường tròn tại A, B. So sánh OA và OB (Hình 7).

b) Giả sử M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R). Trên tia đối cảu tia OM, ta lấy điểm N sao cho ON = OM. Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Lời giải rút gọn:

a) OA = OB

b) Điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Hoạt động 4 trang 95 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R). Giả sử d là đường thẳng đi qua tâm O, M là một điểm tùy ý trên đường tròn (O; R) và M không thuộc d. Kẻ MH vuông góc với d tại H. Trên tia MH lấy điểm N sao cho H là trung điểm của MN (ta gọi điêm N là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng d). Điểm N có thuộc đường tròn (O; R) hay không?

Lời giải rút gọn:

Vì M nằm trên đường tròn (O; R), nên đoạn OM chính là bánh kính của đường tròn và có độ dài bằng R.

Do MH vuông góc với d, sử dụng tính chất của đường tròn và đường thnawgr để kết luận rằng điểm H cũng nằm trên đường tròn (O; R), vì nó là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với đường chứa OM, với M là điểm thuộc đường tròn.

Vì H nằm trên đường tròn (O; R) và N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d (trung điểm của MN), nên điểm N cũng nằm trên đường tròn (O; R).

Vậy điểm N cũng thuộc đường tròn (O; R).

Luyện tập, vận dụng 3 trang 96 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn. Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình tròn đó.

Lời giải rút gọn:

Bước 1: Chọn một điểm bất kỳ trên đường viền của tờ giấy và đánh dấu là A.

Bước 2: Gập tờ giấy sao cho A trùng với một điểm khác trên đường viền, và đánh dấu điểm mới là A'.

Bước 3: Lặp lại bước 2 ít nhất hai lần nữa, chọn điểm trên đường viền đối diện và gập tờ giấy.

Bước 4: Tâm của tờ giấy là điểm giao của các đường gập. Nếu gập đủ nhiều lần, điểm giao này sẽ xác định gần đúng tâm của hình tròn.

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 5 trang 96 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải rút gọn:

Hai đường tròn cắt nhau có hai điểm chung.

Luyện tập, vận dụng 4 trang 97 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 14 cm), (O’; 5 cm) với OO’ = 8 cm. Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?

Lời giải rút gọn:

Do R – r = 14 – 5 = 9 (cm), R + r = 14 + 5 = 19 (cm) và 

Vì R – r > OO’.

Vậy hai đường tròn không cắt nhau.

Hoạt động 6 trang 97 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải rút gọn:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau có 1 điểm chung.      

Luyện tập, vận dụng 5 trang 98 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 2,5 cm) và (O’; 4,5 cm). Tìm độ dài đoạn thẳng OO’, biết hai đường tròn đó tiếp xúc nhau.

Lời giải rút gọn:

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Tiếp xúc ngoài: OO’ = R + r = 4,5 + 2,5 = 7 cm

Tiếp xúc trong: OO’ = R – r = 4,5 – 2,5 = 2 cm.

Hoạt động 7 tran 98 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?

Lời giải rút gọn:

Hai đường tròn không giao nhau thì không có điểm chung.

Luyện tập, vận dụng 6 trang 99 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O’; 6,5 cm). Biết rằng OO’ = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Lời giải rút gọn:

Do R – r = 11,5 – 6,5 = 5 cm.

Do 4 < 5 nên OO’ < R – r. 

Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O’; 6,5 cm).

V. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK 

Giải rút gọn bài 1 trang 99 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường kính lần lượt là AB, AC, CD. Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn thẳng AB, AC, CD theo thứ tự tăng dần và giải thích kết quả tìm được.

Lời giải rút gọn:

Độ dài sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: CD, AC, AB.

Giải thích: 3 điểm đều chung 1 gốc C nhưng bán kính lại khác nhau. Dựa vào gốc để so sánh.

Giải rút gọn bài 2 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) trong mỗi hình 17a, 17b, 17c, 17d:

Lời giải rút gọn:

Hình 17a: Hai đường tròn không cắt nhau

Hình 17b: Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hình 17c: Hai đường tròn không giao nhau

Hình 17d: Hai đường tròn cắt nhau.

Giải rút gọn bài 3 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đoạn thẳng MN và đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng MN. Điểm O thuộc đường thẳng a. 

a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = OM.

b) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O; R).

Lời giải rút gọn:

a) 

b) Vì a là đường trung trực của MN

Ta được OM = ON = R

N thuộc đường tròn (O; R).

Giải rút gọn bài 4 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây AB = R. Tính số đo góc AOB.

Lời giải rút gọn:

Xét

OA = OB = AB = R 

Giải rút gọn bài 5 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Chiếc đồng hồ trang trí ở Hình 18 gợi nên vị tí tương đối của các đường tròn. Quan sát Hình 18 và chỉ ra một cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Tiếp xúc ngoài;

c) Tiếp xúc trong;

d) Không giao nhau.

Lời giải rút gọn:

a) Đường tròn màu tím cắt đường tròn màu vàng kim loại bao bên ngoài

b) Đường tròn màu cam đặc tiếp xúc ngoài với đường tròn màu xanh lá cây rỗng

c) Đồng hồ tiếp xúc trong với viền màu vàng rỗng kim loại

d) Đường tròn màu đỏ và đường tròn màu màu xanh đặc không giao nhau.

Giải rút gọn bài 6 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho đường tròn (O; R) và dây AB khác đường kính. Gọi M là trung điểm của AB. 

a) Đường thẳng OM có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay không? Vì sao?

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB. Biết R = 5 cm, AB = 8 cm.

Lời giải rút gọn:

a)

M là trung điểm AB

Ta có MA = MB               (1)

O là tâm đường tròn, OA và OB là các dây cung

Ta có OA = OB                (2)

Từ (1) và (2) ta được OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

b) AM =

Khoảng cách từ điểm O đến dây AB:

OM =

Giải rút gọn bài 7 trang 100 sgk toán 9 tập 1 cánh diều

Cho hai đường tròn cùng tâm (O; R), (O; r) với R > r. Các điểm A, B thuộc đường tròn (O; R), các điểm A’, B’ thuộc đường tròn (O; r) sao cho O, A, A’ thẳng hàng; O, B, B’ thẳng hàng và điểm O không thuộc đường thẳng AB. Chứng minh:

a)

b) AB // A’B’.

Lời giải rút gọn:

a) Ta có

Vậy ta được: (1)

b) Ta có: = (2)

Từ (1) và (2)

Mà 2 góc này ở vị trí sole trong

AB // A’B’ (đpcm).