Giải câu 8 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ 5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5u_{1}+10(u_{1}+4d)=0 & \\ \frac{4(2u_{1}+3d)}{2}=14 & \end{matrix}\right.$

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{3{u_1} + 8d = 0 \hfill \cr 2{u_1} + 3d = 7 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{u_1} = 8 \hfill \cr d = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\)

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{ {u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ ({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60(1) \hfill \cr {({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170(2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình (1) ta được:

\(2u_1+ 20d = 60 \Leftrightarrow  u_1= 30 – 10d\)

Thế vào phương trình (2) ta được phương trình (2) tương đương:

\([(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\)

\(\Leftrightarrow (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\)

\(\Leftrightarrow 900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\)

\(\Leftrightarrow 50d^2– 360d + 630 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = - 12 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.\)hoặc \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\)