Giải câu 7 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

a. Xét hiệu:

$u_{n +1} -u_{n}= \left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right ) - \left ( n+\frac{1}{n+1} \right )$

\(= 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n^{2}+n-1}{n(n+1)},n \in {N^*}\)

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng (1)

Ta lại có: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\)

Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên (3)

Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b. Ta có:

\(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)

$u_{2}=(-1)^{1}.sin\frac{1}{2}=-sin\frac{1}{2}<0$

$u_{3}=(-1)^{2}.sin\frac{1}{3}=sin\frac{1}{3}>0$

$\Rightarrow u_{1}> u_{2}$và $u_2< u_3$

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:\(\eqalign{ & |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)

Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c.  Ta có:

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)+1}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$=\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Ta có:

\(\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr  \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)

\(\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

$\Rightarrow u_{n}$là dãy số giảm (1)

Ta lại có: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên  (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn