Nội dung bài viết gồm 2 phần:

Ôn tập lý thuyết

Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Định nghĩa

ĐỊNH NGHĨA 1

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left | u_{n} \right |$có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\)hay $u_{n}\rightarrow 0$khi $n\rightarrow +\infty $

ĐỊNH NGHĨA 2

Ta nói dãy số $(v_{n})$có giới hạn là số a (hay $v_{n}$dần tới a ) khi $n\rightarrow +\infty $, nếu \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(v_{n} -a)= 0\)

Kí hiệu: \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }v_{n} = a\)hay $v_{n}\rightarrow a$khi $n\rightarrow +\infty $

2. Một số giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa ta suy ra các kết quả sau:

a. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n} = 0\); \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }\frac{1}{n^{k}} = 0\)với k nguyên dương;

b. \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }q^{n} = 0\)nếu $\left | q \right |<1$;

c. Nếu $u_{n}=c$(c là hằng số) thì \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }c=c\)

CHÚ Ý:

Từ nay về sau thay cho \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}=a\)ta viết tắt là \(\lim u_{n}=a\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

ĐỊNH LÝ 1:

a. Nếu \(lim u_{n}=a\)và \(lim v_{n}=b\)thì:

b. Nếu $u_{n}\geq 0$với mọi n và $lim u_{n}=a$thì:

$a\geq 0$và $lim \sqrt{u_{n}}=\sqrt{a}$

III. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$có công bội q, với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$có công bội q. Khi đó: 

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n}}{1-q}=\frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n}$

Vì |q|<1 nên $lim q^{n}=0$. Từ đó ta có:

$lim S_{n}=lim \left [ \frac{u_{1}}{1-q}-\left ( \frac{u_{1}}{1-q} \right ).q^{n} \right ]=\frac{u_{1}}{1-q}$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi cô hạn $(u_{n})$ và được kí hiệu là $S=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}+....$

Như vậy: $S=\frac{u_{1}}{1-q}; |q|<1$

IV. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa

• Ta nói dãy số $(u_{n})$có giới hạn \(+\infty \)khi \(n \rightarrow +\infty \), nếu \(u_{n}\)có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \(lim u_{n}=+ \infty \)hay \(u_{n} \rightarrow +\infty\) khi \(n\rightarrow +\infty \)

• Dãy số \((u_{n})\)được gọi là có giới hạn \(- \infty \) khi \(n\rightarrow + \infty \)nếu \(lim (-u_{n})= + \infty \)

Kí hiệu: \(lim u_{n}= - \infty \)hay \(u_{n} \rightarrow -\infty\) khi \(n \rightarrow +\infty \)

Nhận xét: \(lim u_{n}=+\infty \Leftrightarrow lim (-u_{n})=-\infty \)

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau:

a. $lim n^{k}=+\infty $với k nguyên dương

b. $lim q^{n}=+\infty $nếu $q>1$

3. Định lý

Ta thừa nhận định lý sau:

ĐỊNH LÝ 2

a. Nếu \(lim u_{n}=a\)và \(lim v_{n}=\pm \infty \)thì \(lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=0\)

b. Nếu \(lim u_{n}=a>0, lim v_{n}=0\)và \(v_{n}>0\)với mọi n thì $lim \frac{u_{n}}{v_{n}}=+\infty $

c. Nếu \(lim u_{n}=+\infty \)và \(lim v_{n}=a>0\)thì \(lim u_{n}.v_{n}=+\infty \)