Giải câu 5 bài ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

a) Với \(n = 1\), ta có:

\(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6\)

Giả sử: \((13^k- 1) ⋮ 6\) với mọi \(k ≥ 1\)

Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)

Thật vậy:

\({13^{k + 1}}-1= {13^{k + 1}}-{13^k} + {13^k} - 1 = {12.13^k} + {13^k}-1\)

Vì : \(12.13^k ⋮ 6\) và \((13^k– 1) ⋮ 6\) (theo giả thiết quy nạp)

\(\Rightarrow (13^{k+1}– 1) ⋮ 6\)

Vậy \((13^n-1)\) chia hết cho 6

b) Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18 ⋮ 9\)

Giả sử:  \((3k^3+ 15k) ⋮ 9\).

Ta chứng minh: \([3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)

Thật vậy:

\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)

\(= 3.({k^3} + 3{k^2} + 3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)

\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)

\(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\)

Vì \((3k^3 + 15k) ⋮ 9\)(theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2) ⋮ 9\)

\(\Rightarrow [3(k + 1)^3+ 15(k + 1)] ⋮ 9\)

Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho 9 với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)