Giải bài tập 43 trang 104 SBT toán 8 tập 1 cánh diều:

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC // AD và BC = AD

Mà M ∈ BC, N ∈ AD nên MB // ND

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD nên MB = MC = $\frac{1}{2}$BC; NA = ND = $\frac{1}{2}$AD.

Do đó MB = MC = NA = ND.

Tứ giác MBND có MB // ND và MB = ND nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.

Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ. 

=> tứ giác PMQN là hình bình hành.

∆ABN = ∆MNB (c.g.c) => AB = MN.

Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi => AM ⊥ BN. 

Hình bình hành PMQN có $\widehat{MNP}$ = 90° nên PMQN là hình chữ nhật.

c*) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM = PN.

Mà ABMN là hình thoi nên ABMN là hình bình hành. 

=> AM, BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường. 

Mà PM =PN => AM = BN.

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

=> $\widehat{ABM}$ = 90° hay $\widehat{ABC}$ = 90°.

Hình bình hành ABCD có $\widehat{ABC}$ = 90° nên ABCD là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC = 2 AB thì PMQN là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC = 2AB.

d) Ta có BM = AB nên BM = 2 cm.

Do ABMN là hình thoi nên AM  là tia phân giác của $\widehat{BAN}$.

Suy ra $\widehat{BAN}=2\widehat{MAD}$ = 60°.

Tam giác ABN có AB=AN và $\widehat{BAN}$ = 60° nên tam giác ABN đều.

=> BN = AN = AB = 2 cm.

Do P là trung điểm của BN nên BP = NP = $\frac{BN}{2}$ = 1 cm.

Trong tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM² = BP² + MP².

=> MP² = BM² – BP² = 2² – 1² =  3. Do đó MP = $\sqrt{3}$ cm.

Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:

MP.NP = $\sqrt{3}$.1 = $\sqrt{3}$ (cm²).