II. Hình chữ nhật cơ sở

Hoạt động 3. 

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y

Hoạt động 4. Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$ của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$ phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc elip

Hoạt động 5. Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, ở đó F1F2 = 2c với 0 < c < a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox (Hình 8).

Khi đó, F1(– c; 0), F2(c; 0) là các tiêu điểm của elip (E). Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E). Chứng minh rằng:

a) $MF1^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$;

b) $MF2^{2} = x^{2} – 2cx + c^{2} + y^{2};$

c) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4cx.$

Luyện tập 3. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ với tiêu điểm $F2(\sqrt{5};0)$. Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M nhỏ nhất.

V. Đường chuẩn của Elip

Hoạt động 7. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường thẳng Δ1: x =  $-\frac{a}{e}$

Với mỗi điểm M(x; y) ∈ (E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ1) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ1.

b) Tỉ số $\frac{MF1}{d(M,\Delta 1)}$

VI. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Hoạt động 8. Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là $x^{2} + y^{2} = a^{2}$.

Xét điểm M(x; y) ∈ (E) và điểm M1(x; y1) ∈ (C) sao cho y và y1 luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A1, A2 của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính $y^{2}$ theo $x^{2}$.

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính $y1^{2}$ theo $x^{2}$.

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{HM1}=\frac{y}{y1}$ theo a và b.

Bài tập

Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Bài tập 3. Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).