Luyện tập 1. Khai triển biểu thức $(x + 2)^{7}$.

II. Tam giác Pascal

Hoạt động 2. 

Ta đã biết:

$(a+b)^{2}=C_{2}^{0}a^{2}+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^{2}$

$(a+b)^{3}=C_{3}^{0}a^{3}+C_{3}^{1}a^{2}b+C_{3}^{2}ab^{2}+C_{3}^{3}b^{3}$

$(a+b)^{4}=C_{4}^{0}a^{4}+C_{4}^{1}a^{3}b+C_{4}^{2}a^{2}b^{2}+C_{4}^{3}ab^{3}+C_{4}^{4}b^{4}$

$(a+b)^{5}=C_{5}^{0}a^{5}+C_{5}^{1}a^{4}b+C_{5}^{2}a^{3}b^{2}+C_{5}^{3}a^{2}b^{3}+C_{5}^{4}ab^{4}+C_{5}^{5}b^{5}$

Ta sắp xểp những hệ số tổ hợp ở trên như sau:

Nêu phép toán để từ hai số hạng của dòng trên suy ra được số hạng tương ứng (thể hiện ở mũi tên ↓) ở dòng dưới trong bảng các hệ số nói trên.

III. Hệ số trong khai triển nhị thức Newton

1. Sự biến thiên của dãy hệ số trong khai triển nhị thức $(a+b)^{n}$

Hoạt động 3. Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức $(a + b)^{4}$ ( Hình 7a) và nhị thức $(a + b)^{5}$ (Hình 7b) sau:

a) So sánh từng cặp hệ số $C_{4}^{0}$ và $C_{4}^{4};C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ ở Hình 7a.

So sánh từng cặp hệ số $C_{5}^{0}$ và $C_{5}^{5};C_{5}^{1}$ và $C_{5}^{4};C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ ở Hình 7b.

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

$C_{4}^{0} C_{4}^{1} C_{4}^{2} C_{4}^{3} C_{4}^{4}$ (trong khai triển (a + b)$^{4}$)

$C_{5}^{0} C_{5}^{1} C_{5}^{2} C_{5}^{3} C_{5}^{4} C_{5}^{5}$ (trong khai triển (a + b)$^{5}$)

2. Hệ số của x$^{k}$ trong khai triển (ax+b)$^{n}$ thành đa thức

Hoạt động 4. Quan sát khai triển nhị thức:

$(ax+b)^{n}=C_{n}^{0}(ax)^{n}+C_{n}^{1}(ax)^{n-1}b+C_{n}^{2}(ax)^{n-2}b^{2}+...+C_{n}^{n-1}(ax)b^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}$

$=C_{n}^{0}a^{n}x^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}bx^{n-1}+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}x+C_{n}^{n}b^{n}$

Nêu công thức tính của $x^{k}$ trong khai triển trên.

Bài tập

Bài tập 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)$^{6}$;

b) (x – 3y)$^{6}$;

c) (x – 1)$^{n}$;

d) (x + 2)$^{n}$;

e) (x + y)$^{2n}$;

g) (x – y)$^{2n}$;

trong đó n lả số nguyên dương.

Bài tập 3. Chứng minh:

$C_{n}^{0}3^{n}+C_{n}^{1}3^{n-1}+...+C_{n}^{k}3^{n-k}+...+C_{n}^{n-1}3+C_{n}^{n}$

$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}3+...+C_{n}^{k}3^{k}+...+C_{n}^{n-1}3^{n-1}+C_{n}^{n}3^{n}$

với $0\leq k\leq n;k,n\in N$*

Bài tập 5. Xét khai triển của $(x+\frac{5}{2})^{12}$

a) Xác định hệ số của x$^{7}$.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số ak của x$^{k}$ với 0 ≤ k ≤ 12.

Bài tập 7. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

a) (a + b)$^{8}$;

b) (a + b)$^{9}$.

Bài tập 9. Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) $n^{5}$ – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;

b) n$^{7}$ – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.

Bài tập 11. Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?

Bài tập 13. Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán. Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua 1 sản phẩm; nếu mua bộ đồ chơi lego, bác sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; còn nếu mua mô hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau. Bác Thành có bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?