Giải luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Luyện tập 2. Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}$
Ta có:
$(x+1)^{n}=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}\times 1+C_{n}^{2}x^{n-2}\times 1^{2}+...+C_{n}^{n-1}x\times 1^{n-1}+C_{n}^{n}\times 1^{n}$
$=C_{n}^{0}x^{n}+C_{n}^{1}x^{n-1}+C_{n}^{2}x^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}$
Cho x =1, ta được:
$(1+1)^{n}=C_{n}^{0}1^{n}+C_{n}^{1}1^{n-1}+C_{n}^{2}1^{n-2}+...+C_{n}^{n-1}1+C_{n}^{n}$
$=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}$
Vậy $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}$
Bình luận