Luyện tập 1. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có

$a) \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-1$

$b)\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}\times\frac{3^{3}-1}{3^{3}+1}\times\frac{4^{3}-1}{4^{3}+1}...\frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}=\frac{2(n^{2}+n+1}{3n(n+1)}$

Luyện tập 3. Chứng minh $16^{n} – 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ*.

Bài tập 2. Cho $Sn=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ và $Tn=2-\frac{1}{2^{n}}$ với n ∈ ℕ*.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bài tập 4. Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + q^{2} +... + q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$ với n ∈ ℕ*.

Bài tập 6. Chứng minh $n^{n} > (n + 1)^{n – 1}$ với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.

Bài tập 8. Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).

a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.

b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba.

c) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trắng từ Hình thứ tư và các tam giác đều màu trắng ở những hình sau đó.

d) Tinh số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thú hai, Hình thứ ba.

e) Dự đoán số tam giác đều màu xanh trong Hình thứ n. Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bài tập 10. Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $Tn=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{n}-1]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.