Giải luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề toán 10 cánh diều

• Khi n = 1, ta có:

$(1+\sqrt{2})^{1}=1+\sqrt{2}=1+1 \times \sqrt{2}\Rightarrow a_{1}=1,b_{1}=1$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $(1+\sqrt{2})^{k+1}$ viết được dưới dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2}$  trong đó $a_{k+1},b_{k+1}$  là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $(1+\sqrt{2})^{k}=a_{k}+b_{k}\sqrt{2}$ với $a_{k},b_{k}$ là các số nguyên dương.

Khi đó:

$(1+\sqrt{2})^{k+1}=(1+\sqrt{2})^{k}(1+\sqrt{2})=(a_{k}+b_{k}\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$

$=a_{k}\times 1+b_{k}\sqrt{2} \times 1+a_{k}\times \sqrt{2}+b_{k}\sqrt{2}\times \sqrt{2}=a_{k}+b_{k}\sqrt{2}+a_{k}\sqrt{2}+2b_{k}$

$=(a_{k}+2b_{k})+(a_{k}+b_{k})\sqrt{2}$

Vì $a_{k},b_{k}$ là các số nguyên dương nên $a_{k}+2b_{k}$ và $a_{k}+b_{k}$  cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

• Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n ∈ ℕ* thì  $(1\sqrt{2})^{n}=a_{n}-b_{n}\sqrt{2}$ với $a_{n}, b_{n}$ là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n ∈ ℕ* thì $(1-\sqrt{2})^{n}=c_{n}-d_{n}\sqrt{2}$ với $c_{n},d_{n}$ là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh $a_{n}=c_{n}$ và $b_{n}= d_{n}$ với mọi n  ℕ*.

Xét mệnh đề P(n):  và  với mọi n ∈ ℕ*.

• Khi n = 1, ta có:

$(1+\sqrt{2})^{1}=1+\sqrt{2}=1+1 \times \sqrt{2}\Rightarrow a_{1}=1,b_{1}=1$

$(1-\sqrt{2})^{1}=1-\sqrt{2}=1-1 \times \sqrt{2}\Rightarrow c_{1},d_{1}=1$

Vậy $a_{1}=c_{1},b_{1}=d_{1}$

Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

• Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: $a_{k+1}=c_{k+1}$ và $b_{k+1}=d_{k+1}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $a_{k}=c_{k}$ và $b_{k}=d_{k}$ (1).

Mặt khác:

$(1+\sqrt{2})^{k+1}=(1+\sqrt{2})^{k}(1+\sqrt{2})$

$=(a_{k}+b_{k}\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=a_{k}\times 1+b_{k}\sqrt{2}+a_{k}\times \sqrt{2}+b_{k}\sqrt{2}\times \sqrt{2}$

$=a_{k}+b_{k}\sqrt{2}+a_{k}\sqrt{2}+2b_{k}=(a_{k}+b_{k})\sqrt{2}$

$a_{k+1}=a_{k}+2b_{k},b_{k+1}=a_{k}+b_{k}$(2).

$(1-\sqrt{2})^{k+1}=(1-\sqrt{2})^{k}(1-\sqrt{2})$

$=(c_{k}-d_{k}\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=c_{k}\times 1-d_{k}\times \sqrt{2}-c_{k}\sqrt{2}-d_{k}\sqrt{2}\times (-\sqrt{2})$

$=c_{k}-d_{k}\sqrt{2}-c_{k}\sqrt{2}+2d_{k}=(c_{k}+2d_{k})-(c_{k}+d_{k})\sqrt{2}$

nên $c_{k+1}=c_{k}+2d_{k},d_{k+1}=c_{k}+d_{k}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra $a_{k+1}=c_{k+1}$ và $b_{k+1}=d_{k+1}$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy bài toán đã được chứng minh.