Giải luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề toán 10 cánh diều
Luyện tập 3. Chứng minh $16^{n} – 15n – 1$ chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ*.
+) Khi n = 1, ta có: 16$^{1}$ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $16^{k+1}– 15(k + 1) – 1$ chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16$^{k}$ – 15k – 1 chia hết cho 225.
Khi đó:
$16^{k+1} – 15(k + 1) – 1$
$= 16 \times 16^{k} – 15k – 16$
$= 16 \times 16^{k} – (240k – 225k) – 16$
$= 16 \times 16^{k} – 240k + 225k – 16$
$= 16 \times 16^{k} – 240k – 16 + 225k$
$= 16 (16^{k} – 15k – 1) + 225k
Vì $(16^{k} – 15k – 1)$ và 225k đều chia hết cho 225 nên $16 (16^{k} – 15k – 1) + 225k ⁝ 225$, do đó $16^{k+1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.$
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Bình luận